2020年西北师范大学泛函分析考研大纲硕士研究生入学考试大纲

2020年西北师范大学 硕士研究生入学考试
同等学力加试
泛函分析 考试大纲
(科目代码： )
学院名称(盖章)： 数学与统计学院
学院负责人(签字)：
编 制 时 间： 2019 年 7 月 3 日
泛函分析 考试大纲
第一章 度量空间与线性赋范空间
考试要点：
度量空间的概念，例子；度量空间中的收敛性与连续性；稠密性；可分性；Cauchy 列
与度量空间的完备性；压缩映像原理及其应用；线性赋范空间的概念，例子；Banach 空间
的概念。
考试内容：
第一节 度量空间的概念与例子
距离及度量空间的定义；例子（欧氏空间 n
R ；连续函数空间 ],[ baC ；数列空间 p
l 等）。
第二节 度量空间中的极限 稠密性 可分空间
领域的概念；收敛点列；有界集；具体空间中收敛性的意义；稠密性与可分空间的概念；
不可分空间的例子。
第三节 连续映射
映射连续性的各种定义及其等价性。
第四节 Cauchy 点列与完备度量空间
度量空间中 Cauchy 点列的概念；完备度量空间的定义；完备度量空间与不完备度量空
间的各类例子；度量空间闭子空间的完备性。
第五节 度量空间的完备化
等距同构；度量空间的完备化定理；
第六节 压缩映像原理及其应用
压缩映像的定义；压缩映像原理；在隐函数定理及常微分方程中的应用。
第七节 线性空间
本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关
内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
第八节 线性赋范空间和 Banach 空间
范数，线性赋范空间和 Banach 空间的概念；依范数收敛； n
R 空间； ],[ baC 空间；

l
空间； 
L 空间； ],[ baL
p
空间；
p
l 空间；有限维赋范空间的拓扑同构性。
考核要求：
掌握度量空间，线性赋范空间和 Banach 空间的概念和性质；掌握映射连续性，度量空
间的完备性等概念；熟悉 n
R 空间， ],[ baC 空间，

l 空间， 
L 空间，
p
l 空间， ],[ baL
p
空
间；透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
第二章 线性有界算子和线性连续泛函
考试要点：
线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
考试内容：
第一节 线性有界算子与线性连续泛函
线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空
间的性质，算子范数。
第二节 线性算子空间和共轭空间
线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空
间的共轭空间。
考核要求：
掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，
同构映照，同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，基本定理；能够计算简单的算
子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
第三章 内积空间和 Hilbert 空间
考试要点：
内积空间，投影定理，Hilbert 空间，就范直交系，Hilbert 空间上线性连续泛函的表示。
考试内容：
第一节 内积空间的基本概念
内积空间与 Hilbert 空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
第二节 投影定理
点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert 空间的正交分解，投
影算子及其性质。
第三节 Hilbert 空间中的就范直交系
就范直交系，Fourier 系数集，Bessel 不等式，Parseval 恒等式，完全就范直交系的定义
与判定, Fourier 展式，Gram-Schmidt 正交化过程，Hilbert 空间的同构。
第四节 Hilbert 空间上的线性连续泛函
Riesz 表示定理，共轭算子及其性质。
第五节 自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
考核要求：
掌握内积空间，Hilbert 空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel 不等式，Parseval
恒等式，Fourier 展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；
掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理, Riesz 表示定理等基本定理
的内容与证明；能独立解答基本的习题。
第四章 Banach 空间中的基本定理
考试要点：
Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，
第一节 泛函延拓定理
次线性泛函，Hahn-Banach 泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
第二节 ],[ baC 的共轭空间、Riesz 表示定理
第三节 共轭算子
第四节 线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
第五节 纲定理和一致有界性定理
第一纲集，第二纲集，Baire 纲定理, 一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛
强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
第六节 逆算子定理
逆算子定理及其证明。
第七节 闭图象定理
线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于 Hahn-Banach 延拓定理，Riesz 表示
定理，Baire 纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求
熟练掌握这些内容；能独立解答基本的习题。
第五章 线性算子的谱
考试要点：
简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。
谱的概念
正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。
第一节 线性有界算子谱的基本性质
谱集的闭性。
考核要求：
了解线性算子的谱的概念，基本性质。
三、参考书目
1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王声望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，
第二版。
3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。