广西大学2021年硕士研究生入学考试《数学分析（624）》考试大纲与参考书目

考试性质
广西大学硕士研究生入学考试初试科目。《数学分析》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本科生各专业硕士研究生学习所要求的水平。本考试是一种测试应试者综合运用所学的数学分析的知识的尺度参照性水平考试。要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
考试方式和考试时间
笔试、闭卷 
试卷结构
一一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间180分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构
一元函数微积分 约占 60%，多元函数微积分 约占 25%，无穷级数 约占 20%
有以下三种题型：   填空题或选择题（20%）、计算题（30%）、综合题（50%）
考试内容和考试要求
（一）、考试内容
1、极限和函数的连续性
  （1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。
  （2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。
  （3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，聚点定理，有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。
  （4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。
（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理，一致连续性。
（6）熟练掌握实数基本理论和性质，会用实数理论及性质表达和证明相关命题。
2、一元函数微分学
  （1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
  （2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及
Taylor展式。
  （4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。
  （5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
  3、一元函数积分学
  （1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。
（2）掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。
（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
  （4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。
  （5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。
 4、无穷级数
  （1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
  （2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。
  （3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
  （4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。
  （5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。
  （6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。
  （7）掌握傅里叶级数的概念与性质，掌握傅里叶级数展开的方法。
  5、多元函数微分学与积分学
  （1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分，方向导数和梯度。
  （2）掌握隐函数存在定理，隐函数和隐函数的求导方法。
  （3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。
  （4）熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。
  （5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。
  6、含参变量积分
（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致收敛的判别法。
  （2）熟练掌握变上限积分及其性质。
 （二）、考试要求
要求考生基本概念清楚，对定理理解准确，扎实掌握，并对定理能够灵活运用；而且要求有较强的计算能力，对数学分析的方法能灵活运用。
参考书目
1．数学分析（上、下册），华东师大编，（2001年后的任意版本），高等教育出版社。
2．数学分析（第一、二、三册），伍胜健编，北京大学出版社，2016版。
2. 数学分析解题数学与方法，杨传林，浙江大学出版社，2008版。