2021年暨南大学招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（A卷）
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招生专业与代码：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学
考试科目名称及代码：709数学分析
| 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
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| 一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
1. 极限 = .
2. 已知 ，其中 为任意常数，则 = .
3. 当常数 满足 时瑕积分 条件收敛.
4. 参数曲线 上任一点的法线到原点的距离为 .
5. 二重积分 = .
6. 设 为球面 ，则第一型曲面积分 = .
二、计算题（共5小题，每小题8分，共40分）
1. 求极限 .
2. 求积分 ，其中 .
3. 已知函数 为非负连续函数，且满足 ，求积分 .
4. 设 为单位球面 与圆柱面 在区域 的那部分曲线段，且 的正向选择如下：当在 上运行经过点 时， 的切方向恰好指向 轴正半轴. 求第二型曲线积分 .
5. 设 是三角形 ，法向量与 同方向. 求第二型曲面积分 .
三、计算题（共3小题，每小题10分，共30分）
1. 求函数 的麦克劳林公式中 和 项前的系数.
2. 求幂级数 的和函数.
3. 已知方程 在 附近唯一确定了隐函数 ，求 在 点处的带佩亚诺余项的直到二阶的泰勒公式.
四、讨论分析题（共1小题，每小题10分，共10分）
1. 判别级数 的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛.
五、证明题（共4小题，每小题10分，共40分）
1. 设 为 上的可导函数，且对任何 有 ，证明：对任何 ，函数 有一个上界是 .
2. 设数列 满足 ， , 且 . 证明：数列 收敛且 .
3. 设函数 在 上连续，且 ， . 证明：在 内至少存在两个不同的点 ， ，使得 .
4. 把函数 展开成傅里叶级数并由此证明：
.
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