2021年暨南大学招收攻读硕士学位研究生入学考试试题(A卷)
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招生专业与代码:基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学
考试科目名称及代码:709数学分析
考生注意:所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分。
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一、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
1. 极限 = .
2. 已知 ,其中 为任意常数,则 = .
3. 当常数 满足 时瑕积分 条件收敛.
4. 参数曲线 上任一点的法线到原点的距离为 .
5. 二重积分 = .
6. 设 为球面 ,则第一型曲面积分 = .
二、计算题(共5小题,每小题8分,共40分)
1. 求极限 .
2. 求积分 ,其中 .
3. 已知函数 为非负连续函数,且满足 ,求积分 .
4. 设 为单位球面 与圆柱面 在区域 的那部分曲线段,且 的正向选择如下:当在 上运行经过点 时, 的切方向恰好指向 轴正半轴. 求第二型曲线积分 .
5. 设 是三角形 ,法向量与 同方向. 求第二型曲面积分 .
三、计算题(共3小题,每小题10分,共30分)
1. 求函数 的麦克劳林公式中 和 项前的系数.
2. 求幂级数 的和函数.
3. 已知方程 在 附近唯一确定了隐函数 ,求 在 点处的带佩亚诺余项的直到二阶的泰勒公式.
四、讨论分析题(共1小题,每小题10分,共10分)
1. 判别级数 的敛散性. 若收敛,是条件收敛还是绝对收敛.
五、证明题(共4小题,每小题10分,共40分)
1. 设 为 上的可导函数,且对任何 有 ,证明:对任何 ,函数 有一个上界是 .
2. 设数列 满足 , , 且 . 证明:数列 收敛且 .
3. 设函数 在 上连续,且 , . 证明:在 内至少存在两个不同的点 , ,使得 .
4. 把函数 展开成傅里叶级数并由此证明:
.
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