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2021年暨南大学《810高等代数》考研真题考研试题
2021年暨南大学招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论
考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
| 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
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| 除非特别声明, 以下题目涉及的数都在复数域中.
1.（20分）设 分别在有理数域, 实数域, 复数域上把 分解为不 可约的多项式的乘积.
2.（10分）计算行列式 .
3. (20分) 设 都是 阶方阵, 且存在非零复数 , 使得 ,
(1) 证明: .
(2) 设 , 当 时, 求 .
4. (20分)含参数 的方程组如下
，当参数满足什么条件时, 该方程组有解.
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| 5. (20分) 在3维欧氏空间 (通常的內积)中建立了右手坐标系, 定义旋转变换 : 旋转轴为起点在原点的向量 , 旋转角为 (逆时针方向). 即 把全体起点在原点的向量绕轴转动 .
(1) 求 在 的标准基下的矩阵.
(2) 求 的全部不变子空间.
6. (20分) 设矩阵 ，其中 为任意数, 求 的Jordan标准形.
7. (20分) 设 同为 阶方阵.
(1) 证明: 与 相似.
(2) 证明: 与 有相同的特征多项式.
8. (20分) 线性空间 上一个线性变换 称为半单的, 如果对 的每个不变子空间 ,都存在 的不变子空间 使得
证明: 若 是线性空间 上的半单变换, 是 的一个不变子空间, 则 限制在 上也是半单的.
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