《高等代数》课程考试大纲

一、 课程的性质，目的和任务

高等代数是数学（数学与应用数学，数学教育）专业的一门重要基础课程。通过本课程的教学，应培养学生良好的数学素养，打下较扎实的代数学理论基础，提高学生的抽象思维的能力和逻辑推理能力，并掌握较系统的代数基础知识，为学习后继课程服务。

二、 基本要求

    这门课程大致分为两部分:多项式理论和线性代数。前者以数域上一元多项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论，向量空间和线性变换。本课程应着重于基本理论的讲授和基本技能的培养和训练,不适求内容上的完备和全面.

三、 考试范围

(一)  多项式理论

1. 数域                                 (A)

2. 整除的概念                           (A)

3. 最大公因式.                          (A)

4. 因式分解定理.                        (A)

5. 重因式.                              (A)

6. 多项式函数.                          (A)

8. 复系数与实系数多项式的因式分解.      (A)

9. 有理系数多项式.                      (A)

*10.多元多项式.                         (B)

*11.对称多程式.                         (B)

(二) 行列式                                            

1. 排列.                                (A)

2. n阶行列式的定义和性质.               (A)

3. 行列式的依行和依列展开.              (A)

4. 行列式的计算.                        (A)

5. Crammer法则(克莱姆法则).             (A)

6. Laplace(拉普拉斯)定理. 行列式的乘法规则. (A)

(三)线性方程组

1. 线性方程组的消元法.                  (A)

2. n维向量空间                          (A)

3. 线性相关性.                          (A)

4. 矩阵的秩.                            (A)

5. 线性方组有解的判定定理.               (A)

6. 线性方程组解的结构.                   (A)

7. 二元高次方程.                        (B)

(四) 矩阵

1. 矩阵的概念与运算.                    (A)

2. 矩阵乘积的行列式与秩.                 (A)

3. 矩阵的逆.                            (A)

4. 矩阵的分块.                          (A)

5. 初等矩阵.                            (A)

(五) 二次型

1. 二次型的矩阵表示.                    (A)

2. 标准形.                              (A)

3. 唯一性.                              (A)

4. 正定二次型.                          (A)

(六) 线性空间

1. 线性空间的定义与简单性质.            (A)

2. 维数.基与坐标.                       (A)

3. 基变换.                              (A)

4. 线性子空间                           (A)

5. 子空间的交与和.                      (A)

6. 子空间的直和.                        (A)

7. 线性空间的同构.                      (A)

(七) 线性变换

1. 定义和例子                           (B)

2. 线性变换的运算.                      (A)

3. 线性变换的矩阵.                      (A)

4. 特征值与特征向量.                    (A)

5. 对角矩阵.                            (A)

6. 线性变换的值域与核.                  (A)

7. 不变子空间.                          (A)

8. Jordan标准形介绍.                    (B)

(八) 入一矩阵

1. 入一矩阵.                            (A)

2. 入一矩阵在初等变换下的标准形.        (A)

3. 不变因子.                            (A)

4. 矩阵相似条件.                        (A)

5. 初等因子.                            (A)

*6.Jordan标准形的理论推导.              (C)

(九) 欧几里得空间

1. 定义与基本性质.                      (A)

2. 标准正交基.                          (A)

3. 同构.                                (A)

4. 正交变换.                            (A)

5. 子空间.                              (A)

6. 对称矩阵的准形.                      (A)

四、主要教材和参考书

    1. 北京大学数学力学系，高等代数（第二版），高教出版社。

    2. 张禾瑞，郝炳新, 高等代数，高教出版社。

    3. 杨子胥，高等代数习题解(上,下)， 山东科技大学出版社.

五、 说明

   1、(A):表示对相关内容达到“掌握”层次；(B): 表示对相关内容达到“理解”层次；(C): 表示对相关内容达到“了解”层次。

   2、北大教材的习题分为两部分: 基本题和补充题。对于学生要求掌握书上的基本题而补充题大部分难度较大，技巧性较强，不要求学生能全部独立完成。但基本题必需会独立完成解答。 “双线性函数”和入一矩阵等打星号的内容可不做为考试要求。