一、考试大纲的性质

本《数理统计》考试大纲适用于中国科学院长春光机所博士研究生入学考试。它的主要内容包括有：事件概率及其性质、条件概率、独立性、随机变量及其分布、条件分布、随机变量的数字特征、矩母函数、特征函数、条件数学期望、大数定律与中心极限定理；数理统计的若干基本概念、点估计 (矩估计、极大似然估计、最小方差无偏估计)、假设检验；平稳过程及其谱分析、Poisson 过程、马尔可夫链等。要求考生对其基本概念有较深入的了解，能够系统地掌握书中基本定律的推导、证明和应用，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试内容

（一） 概率、随机变量及其分布

 1.1 基本概念 （随机试验、随机事件、分布函数、独立性等）

 1.2 随机变量及其分布

 1.3 随机向量及其独立性

 1.4 随机变量的数字特征

 1.5 矩母函数、特征函数及条件数学期望

 1.6 中心极限定理

考试要点：

1、熟练掌握随机变量（向量）及其分布、独立性、不相关等概念的定义；

2、熟练掌握条件概率、条件分布的定义；

3、熟练求某些随机变量变换的分布或联合分布；

4、理解随机变量之间的独立性、不相关性的差异，以及判别方法；

5、掌握常见的求随机变量期望、方差等数字特征的基本方法；

6、了解矩母函数、特征函数

7、熟练掌握条件数学期望的计算；

8、了解强和弱大数律，理解中心极限定理，并会灵活运用。

（二） 参数估计

2.1 基本概念

2.2 参数的点估计

2.3 估计量的优良性准则

2.4 参数的区间估计

考试要点：

1、熟练掌握参数估计的一些基本概念（如总体与样本、统计量、抽样分布）；

2、熟练掌握统计中三大分布的构造，了解其基本的性质；

3、熟练掌握矩估计和极大似然估计；

4、会判别估计量的无偏性，了解最小方差无偏估计；

5、掌握正态总体以及其它特殊总体中参数的区间估计。

(三） 假设检验

3.1基本概念

3.2 正态总体参数的假设检验

3.3 拟合优度检验

考试要点：

 1、熟练掌握假设检验中的一些基本概念（如原假设、备择假设、I型错误、II型错误、检验水平、检验功效函数，等）；

2、熟练掌握单正态总体和双正态总体均值和方差的假设检验；

3、掌握拟合优度检验（如独立性检验）。

(四） 线性回归

4.1数据的相关性

4.2 一元线性回归

4.3 多元线性回归

考试要点：

1、    掌握样本相关系数的概念；

2、    掌握回归分析中最小二乘的思想；

3、    掌握线性回归模型中系数的参数估计和假设检验。

(五） 平稳过程及其谱分析

5.1 宽平稳过程的性质及数字特征

5.2 平稳随机过程的谱分析、功率谱密度

考试要点：

 1、熟练掌握平稳过程的定义，求解宽平稳过程的一阶和二阶数字特征；

2、熟练掌握平稳过程功率谱密度的概念和计算方法；

3、熟练掌握平稳过程的概率谱密度与协方差函数之间的关系。

(六） Poisson 过程

6.1 Poisson 过程

6.2 与 Poisson 过程相联系的分布

6.3 Poisson 过程的推广

考试要点：

1、熟练掌握 Poisson 过程的定义,能判断什么过程是 Poisson 过程；

2、熟练掌握Poisson 过程的基本性质;

3、了解非齐次 Poisson 过程、复合 Poisson 过程。

(七） 马尔可夫链

7.1 转移概率矩阵

7.2 状态分类

7.3 首达目标模型

考试要点：

 1、熟练掌握转移概率矩阵的计算；

2、根据给定的问题讨论状态分类；

3、熟练掌握首达目标模型及其应用。

三、主要参考书目

1、何书元．《概率论与数理统计》,高等教育出版社，2006年。

2、林元烈.《应用随机过程》，清华大学出版社，2002年。

编制单位：中国科学院长春光学精密机械与物理研究所

编制日期：2020年9月