2022年-河北工业大学-数学分析-考研大纲|硕士研究生招生考试大纲

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2022年-河北工业大学-数学分析-考研大纲|硕士研究生招生考试大纲

河北工业大学 2022 年硕士研究生招生考试

自命题科目考试大纲

科目代码:601

科目名称:数学分析

适用专业:数学

一、考试要求

数学分析主要考察对于数学分析基本概念、基本理论和基本方法

以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试形式

试卷采用客观题型和主观题型相结合的形式,主要包括计算题、

证明题等。考试时间为 3 小时,总分为 150 分。

三、考试内容

(一)变量与函数

函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。

(二)极限与连续

1.数列极限和无穷大量:数列极限的定义、性质、运算,单调有

界数列,无穷大量的定义、性质及运算。

2.函数极限:函数在一点的极限,函数极限的性质和运算,单侧

极限,函数在无穷远出的极限,函数值趋于无穷大的情形,重要极限。

3.连续函数:连续的定义、连续函数的性质和运算,不连续点的

类型,闭区间上连续函数的性质。

4.无穷大量和无穷小量的阶。

(三)关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

1.关于实数基本定理:子列的概念,上(下)确界,区间套定理,

致密性定理,Cauchy 收敛原理,有限覆盖定理。

2.闭区间上连续函数性质的证明:有界性定理,最大和最小值定

 

 


 


理,零点存在定理,反函数连续性定理,一致连续性定理。

(四)导数与微分

1.导数的定义,导数的几何意义和物理意义。

2.简单函数的导数:常数函数的导数,三角函数的导数,对数函

数的导数,幂函数的导数。

3.求导法则:导数的四则运算,反函数的导数,复合函数的导数。

4.微分及其运算:微分的定义,微分的运算法则。

5.隐函数及参数方程所表示函数的求导。

6.高阶导数与高阶微分:高阶导数的运算法则,高阶微分。

(五)微分学的基本定理及其应用

1.中值定理:Fermat 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理。

2.Taylor 公式和近似计算 Taylor 公式。

3.函数的单调性、极值与凸性。

4.平面曲线的曲率。

5.待定型----洛必达法则。

6.方程的近似解。

(六)不定积分

1.不定积分的概念及其运算法则。

2.不定积分的计算:换元积分法,分步积分法,有理函数积分法。

(七)定积分

1.定积分的概念。

2.定积分存在的条件:定积分存在的充分必要条件,可积函数类。

3.定积分的性质。

4.定积分的计算:基本公式,换元积分法,分步积分公式。

(八)定积分的应用和近似计算

1.平面图形的面积。

2.曲线的弧长。

 

 


 


3.体积。

4.旋转曲面的面积。

5.质心。

6.平均值、功的计算。

7.定积分的近似计算。

(九)数项级数

1.数列的上、下极限。

2.级数收敛性及其基本性质。

3.正项级数及其收敛的判别法。

4.任意项级数:绝对收敛级数,交错级数。条件收敛判别法。

5.绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。

6.无穷乘积。

(十)反常(广义)积分

1.无穷限反常积分:无穷限反常积分的概念,无穷限反常积分和

数项级数的关系,无穷限反常积分收敛性判别法。

2.无界函数的反常积分:无界函数的反常积分的概念和收敛判别

法,反常积分的主值。

(十一)函数项级数、幂级数

1.函数项级数一致收敛:一致收敛的定义,性质,判别法。

2.幂级数:收敛半径,幂级数的性质和函数的幂级数展开。

3.逼近定理。

(十二)富里埃级数和富里埃变换

1.函数的富里埃级数展开:三角函数系的正交性,富里埃级数的

系数,富里埃级数的复数形式,富里埃级数的收敛性定理。

2.富里埃变换:富里埃变换的概念和性质。

(十三)多元函数的极限与连续

1.平面点集:邻域、点列和极限,开集、闭集和区域,平面点集

 

 


 


的基本定理——矩形套定理、致密性定理、有限覆盖定理、Cauchu

收敛原理。

2.多元函数的极限与连续:多元函数的概念、二元函数的极限、

连续性,有界闭区域上连续函数的性质,二次极限和二重极限。

(十四)偏导数与全微分

1.偏导数与全微分的概念:偏导数的定义,全微分的定义,高阶

偏导数和高阶全微分。

2.求复合函数偏导数的链式法则。

3.由方程(组)所确定的函数的求导法:一个方程的情形,方程

组的情形。

4.空间曲线的切线与法平面。

5.曲面的切平面与法线。

6.方向导数和梯度。

7.多元函数的泰勒公式。

(十五)极值和条件极值

1.极值和最小二乘法。

2.条件极值。

(十六)隐函数存在定理、函数相关

1.隐函数存在定理:一个方程的情形,方程组的情形。

2.函数行列式的性质和函数相关。

(十七)含参变量的积分

含参变量积分的连续性、可微性及交换积分次序的定理。

(十八)含参变量的广义积分

1.一致收敛性的定义。

2.一致收敛积分的判别法。

3.一致收敛积分的性质。

4.阿贝尔判别法和狄立克莱判别法。

 

 


 


5.欧拉积分。

(十九)积分的定义和性质

1.二重积分、三重积分、第一类曲线积分、曲面积分积分的概念。

2.积分的性质。

(二十)重积分的计算和应用

1.二重积分的计算:化二重积分为二次积分,用极坐标计算二重

积分,二重积分的一般变量替换。

2.三重积分的计算:化三重积分为三次积分,三重积分的变量替

换。

3.积分在物理上的应用----质心、矩,引力。

4.广义重积分。

(二十一)曲线积分和曲面积分的计算

1.第一类曲线积分的计算。

2.第一类曲面积分的计算:曲面积分,曲面积分的计算。

3.第二类曲线积分:物理意义,第二类曲线积分的计算,两类曲

线积分的联系。

4.第二类曲面:曲面的侧,第二类曲面积分的定义,两类曲面积

分的联系,第二类曲面积分的计算。

(二十二)各种积分间的联系和场论初步

1.各种积分间的联系:格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式,

斯托克斯(Stokes)公式。

2.曲线积分和路径无关的条件。

3.场论初步----场的概念,散度与旋度,保守场,Laplace 算子。

四、参考书目

[1]《数学分析》主编:欧阳光中,高等教育出版社

[2]《数学分析》主编:华东师范大学数学系,高等教育出版社

 

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