2016年安徽工业大学811高等代数考研真题硕士研究生入学考试试题

2016年全国硕士研究生入学考试招生单位自命题试卷 A卷
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安徽工业大学 2016 年硕士研究生招生专业基础课试卷（A 卷）
科目名称： 高等代数 科目代码： 811 满分： 150 分
考生请注意：所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或者草稿纸上的一律无效！
一、设多项式 14)(
4
 kxxxf ，k 为整数 (15 分)
1、证明： )( xf 在有理数域上不可约；（8 分）
2、设 1)(  xxg ，求 ))(),(( xgxf ，以及 )(),( xvxu ，使得
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ))u x f x v x g x f x g x  .（7 分）
二、计算 n 级行列式（10 分）
n
D =
baa
baa
bbaa
bba









000
000
00
000
三、已知n 阶方阵A 的秩为 1,（20 分）
（1）证明：存在n 维非零列向量  , ，使得 T
A  ，此时验证
AAtrAA
T
)()(
2
  , )( Atr 表示A 的迹（即对角线元素的和）；（5 分）
（2）设 T
A  ,  n
aaa ,,, 21
 ，  n
bbb ,,, 21
 且 0
2
A ，求 A
的特征值和特征向量；（10 分）
（3）证明： AAAtrAAA
TT
)( .（5 分）
四、A 是一个实矩阵. 证明： 秩( AA
T
)=秩( A ) （其中
T
A 表示矩阵 A 的
转置矩阵）. (10 分)
五、设 1
[1 4 1 0, 2] ,
T
  ，，， 2
[2 5 1 3, 2] ,
T
   ，， ， 3
[ 1 2 5 6, 2] ,
T
   ，，，