中国科学技术大学数学分析2010答案年考研真题考研试题

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中国科大 2010 年数学分析考研试题的解答
一 证明 利用不等式
pp q
a b a b   ， ( , 0,0 1)a b p   得
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )g x g x f x f x f x f x
 
     ， 1 2
, [0, )x x  
再由 ( ) :[0, ) [0, )f x    是一致连续的，即可得到 ( ) ( ( ))g x f x

 在[0, ) 上是
一致连续的。
二 证明 令 ( ) ( , )t f t x t y    ， ( , ) (0,0)x y  
由题设条件， ( )t 可导， 0t  ，
( , ) (0,0)f x y f  
(1) (0)  
( ) 
( , ) ( , )f x y f x y
x y
x y
        
   
 
，
由此，再由条件，即得
2 2( , ) (0,0 )
( , ) (0, 0) 0 0
lim 0
x y
f x y f x y
x y  
      

  
，
故 ( , )f x y 在 (0,0) 处可微。
三 证明 由题设条件，显然 1, ( 0,1, 2,...)n
x n 
1 2
1
( ) ( )
2 2
n n
n n n n
x x
x y x x 

    
1
1 2
1
1
2
n n
n n
n n
x x
x x
x x

 


  

1 1 2
1 1
26
n n n n
x x x x  
   
1 1 2
1 1
( ) max{ , }
26
n n n n
x x x x  
    ( 3, 4,...)n 
由此推得