中国科学技术大学数学分析2009答案年考研真题考研试题
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中国科学技术大学数学分析2009答案年考研真题考研试题

2009 年中国科大数学分析考研试题的解答
一 、1 解 因为
(1 2 ) 1 5 5
( ) 3 ( )
23 2 3 3
1 ( )
3
n
n n
n n
n
i
   



1
5
3 ( )
3
n
n


 收敛,
所以
1
(1 2 )
3 2
n
n n
n
i



 绝对收敛。
2 证明 必要性 设 ( )f x 在 I 上一致连续,
对 0, 0     ,当 , ,x x I x x       时,有 ( ) ( )f x f x    ,
设{ }n
x I 是 Cauchy 序列,则对此 0  ,
*
N N  ,当 ,n m N 时,有 n m
x x   ,
从而有 ( ) ( )n m
f x f x   ,所以有{ ( )}n
f x 是 Cauchy 序列;
充分性 用反证法,假若 ( )f x 在 I 上非一致连续,则 0
0  ,
1
0n
n
   , ,n n
x y I  ,
虽然
1
n n
x y
n
  ,但 0
( ) ( )n n
f x f y   , ( 1, 2,...)n 
注意到 I 为有限区间, n
x I ( 1, 2,...)n  ,因此{ }n
x 中存在收敛的子列{ }kn
x ,
因 0k kn n
x y  ,故{ }kn
y 亦收敛,且 lim limk kn n
k k
x y
   
 ,
从而穿插之后,序列
1 1 2 2
, , , ,..., , ,...k kn n n n n n
x y x y x y 亦收敛,为 Cauchy 序列,但其像序列
1 1 2 2
( ) , ( ) , ( ) , ( ) , . . . , ( ) , ( ) , . . .k kn n n n n n
f x f y f x f y f x f y
恒有 0
( ) ( )k kn n
f x f y   ,不是 Cauchy 序列,与一致条件矛盾,所以假设不成立,故有
( )f x 在 I 上一致连续,命题得证。
注:当 I 为无限区间时,充分性不再成立,例如
2
( )f x x 把 ( , )I    上的任一
Cauchy 序列{ }n
x ,映成 Cauchy 序{ ( )}n
f x ,但
2
( )f x x 在( , )  上不一致连续。

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