郑州大学数学分析真题1997年考研真题考研试题

郑州大学
一九九七年攻读硕士学位研究生入学试题
学科、专业：
研究方向：
考试科目：数学分析
注意：答案一律写在答题纸上，否则不给分。
一、 解答下列各题。（共 30 分，每小题六分）
1． 求 30
sin (1 )
lim
x
x
e x x x
x→
− +
2． 设 f 具有二阶连续偏导数。 ( , )
x y
u f
y z
= ，试求
2
, .
u u
y x z
∂ ∂
∂ ∂ ∂
3． 设对任何 , ( , )x y∈ −∞ +∞ 。都有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
且 0
( )
lim 1
sinx
f x
x→
= 。试求 '
( )f x 。
4. 设 ( )f x 连续，且满足
2
0
sin
( ) ( )
2 cos
x t
f x f t dt
t
=
+∫ 。试求 ( )f x .
5. 求 2 2
| 4 |x y dxdy+ −∫∫ ，其中 D 为圆域：
2 2
9.x y+ ≤
二、（10 分）设 ( , )z z x y= 为方程 ( , ) 0
z z
F x y
y x
+ + = 所确定的隐函数。其中 F 为可微函
数。试证：
z z
x y z xy
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
。
三、（10 分）讨论级数
0
1
1 n
n a
∞
= +
∑ ( 0)a > 的敛散性。
四、（10 分）设 ( )f x 在[ 1,1]− 上有三阶导数且
'
(0) 0, ( 1) 0, (1) 1, (0) 0.f f f f= − = = =
试证：存在 ( 1,1)ξ ∈ − 使得
'''
( ) 3.f ξ ≥
五、（10 分）设 1( )f x 在[ , ]a b 上连续，定义函数列 1( ) ( )
x
n na
f x f t dt+ = ∫ ， ( 1,2,...)n =
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