浙江理工大学912高等代数2013年考研真题考研试题

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浙 江 理 工 大 学
2013 年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目：高等代数 代码：912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
1.(15 分) 求次数小于 4 的多项式 ( )f x 使得 (2) 3, (3) 1, (4) 0, (5) 2.f f f f    
2. (15 分)设
11 12 1
21 22 2
( 1)1 ( 1) 2 ( 1)
n
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a  
 
 
 
 
  
 


  

为一 ( 1)n n  矩阵， i
M 为 A 中划去第i 列得到的行列式.
1）证明 1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M

  是方程 0AX  的一个解；
2）如果 A 的秩为 1,n  那么方程组 0AX  的解全是 1
1 2
( , , , ( 1) )
n
n
M M M

  的倍数.
3. (15 分)证明 n 级方阵 A 可逆的充要条件是 A 可以仅通过初等行变换化为n 级单位
矩阵.
4. (20 分)设
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
  
 


  

为 n 级实数域上方阵， 证明：
1）若| | , 1, 2, ,ii ij
j i
a a i n

   ，则| | 0A  ；
2) 若 , 1, 2, ,ii ij
j i
a a i n

   ，则| | 0A  .
5. (15 分)设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 m n 实矩阵，证明： 'B AB 正定的充要条件是
B 的秩等于 n .
6. (15 分)扩充(2,1, 1, 3), ( 1, 0,1, 2)  为 4
R 的一组基.