浙江理工大学912高等代数2011年考研真题考研试题

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浙 江 理 工 大 学
2011 年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目： 高等代数 代码：912
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一. (15 分). 证明: 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数
多项式的乘积, 那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
二. ( 10 分) 设 A 为 n 阶方阵. 证明| | 0A  的充要条件是有 n 维列向量b 使得方程组
AX b
无解.
三. (20) ,a b 取何值时，方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
(2 1) 3 1
( 3) 2 1
ax bx x
ax b x x
ax bx b x b
  

   
     
有唯一解? 有无穷多解？在有无穷多解时求解.
四. (15 分)设 1 2
, , , n
   为数域 P 上 n 维空间V 的一组基, A 为 P 上 m n 矩阵.
1 2 1 2
( , , , ) ( , , , ) .m n
A      
为V 上一个向量组. 证明向量组 1 2
, , , m
   和矩阵 A 有相同的秩.
五. (15 分)设
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) ( ) 2 2 2 .f x x x x x x x x x x x x     
(i)  取何值时,二次型 1 2 3
( , , )f x x x 正定?
(ii)  取何值时,二次型 1 2 3
( , , )f x x x 负定?
(iii) 2, 1   时, 1 2 3
( , , )f x x x 分别为什么类型二次型?
六. (15 分) 叙述线性空间的定义并验证全体实数的二元数列， 对于下面定义的运算
是否构成线性空间：
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2
1 1 1 1 1
( , ) ( , ) ( , ),
( 1)
( , ) ( , )
2
a b a b a a b b a a
k k
k a b ka kb a
    

 