浙江理工大学912高等代数2009年考研真题考研试题

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浙江理工大学
二 OO 九年硕士学位研究生招生入学考试试题
考试科目：高等代数 代码： 912
（*请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效）
一. (20 分)设
1
2
3
( 1 , 2 , 1 , 2 ) ,
( 3 , 1 , 1 , 1 ) ,
( 1 , 0 , 1 , 1 ) ,



  


   
(1)
1
2
(2, 5, 6, 5)
( 1, 2, 7, 3)


  

  
(2)
为两向量组, 1
W 和 2
W 分别为(1)和(2)生成的线性空间.
(i) 求 1 2
W W 和 1 2
W W 的维数和基.
(ii) 求解方程组以(2)为基础解系
二. (20 分)已知两个三元线性方程组(I)和(II)的通解分别为:
1 1 1 2 2
c c    和 2
c  .
其中 1 2 1 2
(1, 0,1), (0,1, 2), (1,1, 0), (1, 2,1), (1,1, 2)         .
求(I)和(II)的公共解.
三. (20 分)证明矩阵的行秩等于列秩.
四. (15 分)用正交变换化二次形
2 2 2
1 2 3 1 2 3 2 3
( ) 2 4f x x x x ax ax x x      为标准型. 已
知 1,a  1 为该二次型系数矩阵的一个特征值.
五. (15 分)设 n 阶方阵 A 满足方程 ( ) ( ) 0f A g A  . 其中
4 3 2 5 4 2
( ) 7 13 6, ( ) 4 14 17 6.f x x x x x g x x x x x         
证明 A 相似于某对角矩阵.
六. (15 分)设 ,A B 为 n 阶正定矩阵. 证明:
(1) 有正定矩阵 C 使得
2
A C ;
(2) AB 的特征值全部大于零.