浙江大学数学分析2007年考研真题考研试题

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浙 江 大 学
二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目 数学分析 编号 427
注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一．（30 分）证明：
1. )0(),()1(sin 3
→=+− xxOxxxex
.
2. ).,0(,1sincos 2
+∞∈−+>+ xxxxx
3.设 f 是[-1,1]上的可积函数,则有
∫∫∫ ∫
≤++ −
−=
1
1
1
2
222
.)1)(()(
zyx
duuufdxdydzzf π
二.(30 分)
1.叙述数集的上确界及下确界的定义.
2.设 S 是一个有上界的数集,用 aS 表示 S 的一个平移,即
}.|{ SxaxSa ∈+= 其中 a 是一个实数,试证明
aSSa += supsup
3.确定数集
,.....}3,2,1|
2
13
)1{( 2
2
=
−
− n
n
nn
的上确界和下确界(必须用定义加以验证)
三.(20 分)狄利克雷函数



=
为无理数
为有理数
x
x
xD
,0
,1
)(
试分别用(1)极限定义;(2)柯西收敛准则,证明当 1→x 时 )(xD 的极限不存
在.