云南大学高等代数2005年考研真题考研试题
2005 年云南大学硕士研究生入学考试试题 专业:基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目:《高等代数 A 卷》 一. 判断: 2x = 为多项式 ( ) 5 4 3 2 6 11 2 12 8f x x x x x x= − + − − + 的几重根,为什么?(15 分) 二. 设ε 是不为 1 的 5 次单位根,证明:行列式 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 D ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − − − − − − = − − − − − − 。(15 分) 三. 设 ( )1, , nf x x X AX′=L 是一实二次型,若有实 n 维向量 1 2,X X 使 1 1 2 20, 0,X AX X AX′ ′> < 证明:必存在实 n 维向量 0 0X ≠ 使 0 0 0X AX′ = 四. 设 1 2 3 4, , ,ε ε ε ε 是 4 维线性空间 V 的一组基,已知线性变换 T 在这组基下的矩阵为 1 0 2 1 1 2 1 3 1 2 5 5 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1)求 T 在 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4, , ,η ε ε η ε η ε ε η ε= + = = + = 下的矩阵 B (2)求 T 的核和值域; (3)若线性变换T ,有 ( ) 1 0 0T − = ,问T 是否为可逆变换?为什么? 五. 已知 0a ≠ ,用非退化的线性变换化二次型 ( )1 2 3 1 2 1 3 2 3, ,f x x x ax x bx x cx x= + + 为标准型 六. 已知向量组( ) 1 2 31 : , , ;α α α ( ) 1 2 3 42 : , , , ;α α α α ( ) 1 2 3 53 : , , , ;α α α α 假设秩( )1 = 秩( )2 3= ,秩( )3 4= 。证明:向量组( ) 1 2 3 5 44 : , , , ;α α α α α− 的秩为 4。 七. 设 ( )1, , nf x xL 和 ( )1, , ng x xL 为两个实二次型, ( )1, , nf x xL 正定。证明:在 n R 中 购买考研、考博历年真题资料,请到http://www.kaoboinfo.com |考博信息网 查询清单、购买下载电子版真题 购买考研、考博历年真题资料,请到http://www.kaoboinfo.com |考博信息网 查询清单、购买下载电子版真题
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