资源简介：2014年空军工程大学随机过程考博真题考博试题博士研究生入学考试试题    

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随机过程
1、（8 分）设 ( )g t 满足 ( ) ( )g t T g t  ，又随机变量  在 (0, )T 上服从均匀分布，记
( ) ( )X t g t   ，试证明：
0
1
[ ( ) ( )] ( ) ( )
T
E X t X t g t g t dt
T
    。
2、（15 分）设 ( )W t 是标准的布朗运动，试求 Ito 积分( ) ( ) ( )
b
a
I W t dW t 。
3、（10 分）设{ ( ), 0}X t t  是参数为 的泊松过程，试证： ( ) ( 1) ( ), 0Y t X t X t t    是
平稳过程。
4、（15 分）设有一个离散时间的平稳白噪声 ( )X n ，其自相关函数为
2
( ) ( )X X
R n n  ，将
( )X n 输入一个 IIR（无限冲激响应）滤波器，输出 ( )Y n 与输入 ( )X n 之间有如下关系：
( ) ( ) ( 1)Y n X n aY n  
其中| | 1a  。试求 ( )Y n 的自相关函数 ( )Y
R m 及功率谱密度 ( )
j
Y
S e

。
5、（12 分）设随机过程 ( ) sin cos ,X t A t B t t       ，其中 A B、 是相互独立的
均值为零、方差为
2
 的高斯（正态）随机变量，试问：
1） ( )X t 的均值是否各态历经？ 2） ( )X t 的均方值是否各态历经？
6、（15 分）考察电子管中的电子发射问题。设在单位时间内到达电子管阳极的电子数目 N
服从泊松分布，为： ( )
!
k
P N k e
k
 
  。又假设每个电子携带的能量构成一个随机变量序
列 1 2
, ,X X  ， 并 且 { , 1 }n
X n  与 N 统 计 独 立 ， 而 { }n
X 之 间 互 不 相 关 ，
2
,n n
EX DX   。若单位时间内阳极接收到的能量为
1
N
k
k
W X

  ，试证明：
1） EW  ； 2）
2 2
( )DW    
7、（15 分）设 ( ) cos( )X t t  ，其中 为常数， 是实随机变量且其特征函数为 ( )v 。
试证明： ( )X t 是平稳过程的充要条件是 (1) (2) 0.  

 

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