资源简介：2011年空军工程大学3081量子力学（B)考博真题考博试题博士研究生入学考试试题    

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空军工程大学 2011 年博士研究生入学试题
考试科目：量子力学（B卷） 科目代码 3081
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，
写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，
试题必须同试卷一起交回。
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一． (15 分)量子力学中的微观体系的状态用_________来描述，物理量用
________表示。体系状态演化方程是含时薛定谔方程，其表达式为___________。
质量为 m 的粒子在一维势场 U(x)中运动的定态薛定谔方程为：______________。
若体系的状态为  ；则物理量Qˆ
的平均值的表达式为：______________;
二． (15 分)如果1和2是某体系含时薛定谔方程的两个解，证明其线性叠
加态： =a1+b2(a, b 为常数) 仍是该体系含时薛定谔方程之解。其乘积
=12是否仍是该体系含时薛定谔方程之解？为什么？
三． (15 分)请写出角动量三个分量 zyx
LLL ˆˆˆ 、、 之间的对易关系，并据此计
算下列对易关系：1）         yxzxzyzyx
LLLLLLLLL ˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ  ；
2）  z
LL ,
2
（其中 2222
zyx
LLLL  ）。
四． (25 分)质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为：
 
 0; 0,
; 0,
x a
V x
x x a

 
  
（1）[10 分] 求解能量本征值 n
E 和归一化的本征函数 ( )n
x ；
（2）[5 分] 若已知 0t  时，该粒子状态为：        2/0, 21
xxx   ，
求t 时刻的波函数  tx, ；
（3）[5 分] 求t 时刻测量到粒子的能量分别为 1
E 和 2
E 的几率是多少？t 时刻
粒子的平均能量E 是多少？
（4）[5 分] 求t 时刻粒子的平均位置x 。

 

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