资源简介：2010年中国科学院长春应用化学研究所量子力学考博真题考博试题博士研究生入学考试试题    

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中国科学院长春应用化学研究所
二 O 一 O 年攻读博士学位研究生入学考试试题
量子力学
一、回答下列各问题（共 30 分）
1．计算对易关系 ˆ ,L
 
 
，其中 , , ,x y z   。（6 分）
2．一粒子的波函数 ( ) ( , , )r x y z 

，写出粒子位于 x x dx 间的几率。（3 分）
3．一维运动中，哈密顿量
2
( )
2
p
H V x
m
  ，求   , ? , ?x H p H  。（2 分）
4．设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动，势阱的势能函数为
, 0,
( )
0, 0
x x a
V x
x a
  
 
 
试用德布罗意的驻波条件，求粒子能量的可能取值。（5 分）
5．在直角坐标体系中，证明： 2
, 0L p  
 
 
，其中 L

为角动量算符， p

为动量算
符。（4 分）
6．粒子自旋处于 / 2z
s   的本征态
1
0

 
  
 
，试求 x
s 和 y
s 的不确定关系：
2 2
( ) ( ) ?x y
s s   （5 分）
7．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即 ˆ ˆ
i i j j
i j
u A u v A v  。（5 分）
二、（共 15 分）
质量为 m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能 ( , , )V x y z
由下式给出：
     0, 0, ; 0, ; 0,
( , , )
,
x a y a z a
V x y z
others
  
 

；
（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；
（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基
态能是多少？并写出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为 1
2
，是费米子）；
（iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系

 

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