资源简介：2008年中国科学院长春应用化学研究所量子力学考博真题考博试题博士研究生入学考试试题    

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中国科学院长春应用化学研究所
二О О 八年攻读博士学位研究生入学考试
量子力学试题
一、回答下列各问题（共 30 分）
1．束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
2． 2
( , )z
L L 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
3．证明在 z
L 的本征态下， 0x y
L L  。
4．相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。
5．一维运动中，哈密顿量
2
( )
2
p
H V x
m
  ，求   , ? , ?x H p H  。
6．写出电子自旋 z
s 的二本征值和对应的本征态。
7．证明任一算符 F，总可写成 F A iB  ，其中 A，B 是厄密算符。
8．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
9．给出一维谐振子升、降算符 ,a a

的对易关系式，粒子数算符 N 与 ,a a

的关系，
哈密顿量 H 用 N 或 ,a a

表示的式子，N（亦即 H）的归一化本征态。
10．粒子在宽为 a 的无限深方势阱中运动，估算其基态能量。
二、（共 15 分）
对于一维自由粒子，
（1） 设波函数 0 /
( , 0)
ip x
x e 

，求 ( , )x t 。
（2） 设波函数为 /1 1
( ) ( )
2 2
ikx ipx
x x e dx e dp 
 
   


，可以看成无穷
多个平面波 i k x
e 的叠加，即无穷多个动量本征态 /i p x
e

的叠加，试问
( ) ( )x x  是能量本征态吗？
（3） 设粒子在 0t  时刻 ( , 0) ( )x x  ，求 ( , )x t 。

 

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