资源简介：2007年中国科学院长春应用化学研究所量子力学考博真题考博试题博士研究生入学考试试题    

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中国科学院长春应用化学研究所
二О О 七年攻读博士学位研究生入学考试
量子力学试题
一．（25 分）回答下列问题：
1．设 A 与 B 为厄米算符，则
1
2
（AB+BA）和
1
2i
（AB-BA）也是厄米算符，如此证明：
任何一个算符 F 均可分解为 F=F++iF-，F+=
1
2
（F+F+
），F-=
1
2i
（F-F
+
），F+与 F-均为厄米
算符。
2．设矩阵 A 和 B 满足
2
0, 1A AA A A
 
   ， B A A


（a） 证明 2
B B ；
（b） 在 B 表象中写出 A 的矩阵表示（设 B 本征态无简并）。
3．计算对易关系 ˆ ,L
 
 
，其中 , , ,x y z   。
4．证明矩阵的迹与表象的选择无关，即 ˆ ˆ
i i j j
i j
u A u v A v  。
5．在激发的氢原子中，若两个电子分别处于 p 态与 d 态，求出其总轨道角动量的可能
取值。
二．（15 分）做一维运动的粒子，已知哈密顿算符
2
0
ˆˆ ( )
2
p
H V x

  满足的本征方程为
0
0
ˆ
n
H n E n ，如果哈密顿算符变成 0
ˆˆ ˆ p
H H 

  （ 为实参数），利用费曼-海尔曼
定理求变化后的能级 n
E 。
三．（20 分）线谐振子在 0t  时处于
0 1 2
1 3 1
( , 0) ( ) ( ) ( )
2 2 2
x x x x     
态上，其中 ( )n
x 为线谐振子第n 个能量本征值 n
E 对应的本征函数。
（1）求在 ( , 0)x 态上能量的可测值、取值概率与平均值；

 

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