2017年湖南师范大学实变函数考研大纲

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2017年湖南师范大学实变函数考研大纲


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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码:[ ] 考试科目名称:实变函数
一、考试形式与试卷结构
1)试卷成绩及考试时间:
本试卷满分为 100 分,考试时间为 180 分钟。
2)答题方式:闭卷、笔试
3)试卷内容结构
(一)测度论与可测函数部分 40%
(二)Lebesgue 积分与不定积分部分 60%
4)题型结构
a: 计算题,2 小题,每小题 11 分,共 22 分
b: 证明题,6 小题,每小题 13 分,共 78 分
二、考试内容与考试要求
(一)测度论与可测函数部分
1、n 维欧式空间中的点集
考试内容:开集、闭集的构造、分离定理
考试要求:
 要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。
 要求考生理解 Cantor 集。
 要求考生熟练掌握分离定理。
2、测度论
考试内容:Lebesgue 外测度,可测集、可测集类
考试要求:
 测度的定义和性质;
 掌握 Lebesgue 外测度和测度的定义和基本性质;
 练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性
质。
 掌握零测集的性质;开集、闭集的可测性;
 了解特殊的两类集合,波雷耳集。
3、可测函数
考试内容:可测函数及其性质,几乎处处收敛,叶果洛夫定理,可测函数的
构造,依测度收敛
考试要求:
 熟练掌握可测函数及其四则运算,可测函数与简单函数的关系,几
乎处处成立的概念;
 理解叶果洛夫定理;
 理解并掌握鲁津定理及其逆定理;
 熟练掌握依测度收敛的定义,几乎处处收敛与依测度收敛的几个反
例,Riese 定理和 Lebesgue 收敛定理
(二)Lebesgue 积分与不定积分部分
1、Lebesgue 积分的概念与性质
考试内容:勒贝格积分的定义,勒贝格积分的性质,一般可积函数,积分的
极限定理
考试要求:
 理解勒贝格积分的定义,掌握可积的两个充要条件;可积的四则运
算, 勒贝格积分与 Riemann 积分的关系;
 熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性;
 熟练掌握一般可积函数的 L 积分的定义和初等性质。
 牢记勒贝格控制收敛定理,列维定理,L 逐项积分定理,积分的可
数可加性,Fatou 引理及有关积分与求导交换的定理。
2、微分和不定积分
考试内容:有界变差函数、绝对连续函数
考试要求:
 熟练掌握有界变差的定义,理解 Lebesgue 定理;
 充分理解绝对连续函数,并理解绝对连续函数与不定积分的关系。
三、参考书目
[1] 江泽坚等编《实变函数论》(第 3 版),高等教育出版社,2007 年第 3 版 .
[2] 程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003 年第 2 版 .
 
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