资源简介：杭州师范大学317数学分析2006年考研真题考研试题    

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杭州师范学院研究生入学考试命题纸 杭州师范学院研究生入学考试命题纸
杭 州 师 范 学 院
2006 年攻读硕士学位研究生入学考试题
学科专业： 基础数学、应用数学
研究方向：
考试科目： 数 学 分 析
2. 利用 Gauss 公式计算曲面积分：  
S
dxdyzdzdxydydzx
222
，其中 S 是立方体：
0 , ,x y z a  的外表面.
3. 设  2 21
ln
2
u x y  ， 求
2 2
2 2
u u
x y
 

 
4. 计算无穷积分 22 2
dx
x x

 

三、（10 分）证明函数
2 2
2 2
2 2
2
, 0
( , )
0 0
xy
x y
x yf x y
x y

 
 
  　 　　 ，
分别对每一个变量 x 和 y 是连续的，
但非关于二个变元( , )x y 的连续函数.
四、（12 分）证明：如果级数
0
1
n
x
n
a
n


 收敛，则当 0
x x 时，级数
1
n
x
n
a
n


 也收敛.
五、（12 分）设 ( )f x 在区间 I 上有定义，则 ( )f x 在 I 上一致连续的充分必要条件是：对区间
I 上任意两个数列{ }n
x 与{ }n
y ，当  lim 0n n
n
x y
 
  时，有  lim ( ) ( ) 0n n
n
f x f y
 
  .
六、（12 分）设 ( )f x 在区间[ , ]a b 上连续，且 [ , ]x a b  ，有 ( ) [ , ]f x a b . 试证存在 0
[ , ]x a b ，
使得 0 0
( )f x x .
七、（12 分）求函数
2
1
1
( )
3
n
n
n
n
f x x



  的导数 ( )f x 与定积分
0
( )
x
f t dt ，并给出收敛区间.
八、（10 分）设
1
2
  是一个常数， 0n
a  且级数
1
n
n
a


 收敛. 证明函数项级数
1
sinn
n
a nx
n




在 ( , )  上一致收敛.
九、（10 分）证明：若函数 1
2
( ) ( )
1
x
f x f x
x
 

， n N  ，定义  1
( ) ( )n n
f x f f x
 ，则
函数列 ( )n
f x 在 ( , )  上一致收敛于0 .
说明：1、命题时请按有关说明填写清楚、完整；
2、命题时试题不得超过周围边框；
3、考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负；
4、
5、
一、计算下列各题：（每小题 10 分，共 40 分）
1．
1 1 2 1
lim 1 1 1
n
n
n n n n 
 
       
 
2．设函数 ( )f x 在 a 可导，求下面的极限：
0
( 2 ) ( )
lim
2t
f a t f a t
t
  
3．
2
2
tan 1
1
x
x dx
x
 


4． | |
D
x y dxdy ，其中  ( , ) | 1 1, 1 1D x y x y      
二、解答下列各题：（每小题 8 分，共 32 分）
1. 求曲线积分
2 2 2
( )
l
x y z ds  的值，其中曲线 l 是圆螺旋线： cosx a t ， siny a t ，
z bt (0 2 )t  
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