问：请曹老师为大家讲解考研需要注意的一些问题，主要是概率论与数理统计方面请做一个介绍。

曹显兵：今天很高兴有这个机会跟大家交流一下数学复习应该怎么进行，最近我也不断的收到很多同学给我发E－mail，询问这个时候最好该怎么做，我想借这个机会回答一下同学们的问题。数学跟政治、英语不一样，它要求掌握的内容比政治、英语多，主要针对思维能力的考察，我认为大家可以通过一个礼拜做一或者两套模拟试卷或者历年真题来检验自己哪些地方做的不过，然后回过头来把教材或者比较适合自己的复习参考书拿出来，因为这个时候从头到尾看复习书或者教材是不可取的，效率是慢的。只有通过做模拟试卷，通过历年真题有针对性找到自己复习不够的地方，这样效果会比较好。我想一个礼拜做一套或者两套题，在规定时间里面做，根据事前考过的情况采用这个办法效果是比较好的。这是我想提一点建议：做题时候一定在规定时间里面做完。

另外我想最后这一段时间里面，同学们对每一章节的重要定理、重要的公式或者重要的结论你可以经常翻一翻，你已经有印象的，这么翻一翻加深一下印象。使自己保持一个良好的状态。我想参加选拔性考试跟体育比赛有点类似，我们要有一个好的状态，必须使自己把这些内容在自己脑海里面反复，很多同学跟我说我把代数复习以后，高等数学忘了，复习这个忘了那个，我想这个很正常，不要因为这个原因，认为考不好数学，每个人都有这种感觉，包括老师也有这种感觉。你应该在脑海里面能够随时调用这些知识，只有通过反复翻一翻，没有其他办法。在每个章节的重点或者重要的结论，这个反复过程当中，比如可以拿出零碎时间，比如你复习一段政治、英语以后，你想放松一下，你可以把数学书拿出来，这一章里面有那些重要东西。例如：你比如代数里面方程组这一部分，你可以把这部分内容简单复习一下，方程组有什么内容，我们想想。每个知识点你又要能够展开，你翻翻书或者自己回忆一下什么条件可以解决什么问题。如果行列式不为零的话，这个有唯一解，这个解可以求助一个公式。比如齐次方程组有什么问题需要掌握呢？那就是怎么判定解，这三个东西又需要怎么展开，解的判定怎么判定的，我们知道齐次方程组有非零解的充分必要条件是什么，你把这一部分内容经过不断反复复习，你考试就不担心考到这部分内容时候你联想不到知识点。除了通过做模拟题、通过做历年真题把自己的薄弱环节找出来，加深这部分的重点难点以外，同学们还可以把每一章节的知识点归纳反复一下，我想你一定会取得很好效果。

当然每门学科都有它的重点，我们复习的时候要全面，全面不是没有重点，不是重点考点不是每一个点都要考，它可能三、五年才考一次，而且也是考最简单的，要求层次最低的这种地方不是重点。比如我拿数学来说，傅里叶级数这不是考试的重点，虽然考过但是不是每年都考，而且每次都考一个小题，比如傅里叶系数你会不会计算，书里定理你记得不记得。而且考的话也是考最低的要求。再比如概率统计里面矩阵估计这也不是考试的重点，即使考也是考公式，记住就可以做出来这道题，不重要的地方你花时间少一些，达到基本要求就可以了。重点要多花一点时间，掌握的层次要提高一点，有一点技巧性的题你都要会做，这样你复习起来才具有针对性，而且考试的时候也会取得比较理想的成绩。

问：会不会考极大自然估计量，我觉得那里面计算量比较大，一般不会考，不知道曹老师怎么感觉的？

曹显兵：对于数学一的考生或者数学三的考生来说，这个类型是考试的重点，每门课程重点有很多，不是每个重点都考，只要重点的地方考生不要投机取巧，比如参数估计，三种方法，那就是矩估计方法，极大似然估计方法，区间估计方法，这三种方法前两者是重点。大家记几个公式就可以了，2003年数学一考了区间估计的填空题。你对前面两者要熟练掌握，前面两种对整体没有做限制，所以命题空间比较大。如果命题空间小考的可能性有很小。你四个步骤一定要掌握，刚才有网友说那个计算量太大，考试的题计算量不会太大。第一步一定要把函数会写出来，数量函数有两种：一个是总体是离散型的一个是连续型的，你都要会写出来，离散型是指联合分布率，连续型是联合密度，因为这个联合密度和联合分布率都具有独立性，都是等于边缘密度的乘积，做任何一个，只要考这类型的题第一步少不了，你的问题属于会把L似然函数写出来，把L写出来以后下面求L关于未知参数最大值点的问题，这是高等数学微积分里面最基本的问题，所以一般的话，我们先取对数，取对数以后令这个函数对未知参数的导数等于零，这个偏导数或者导数等于零的解就是可能的极值点。当然也可能出现这种情况，偏导数等于零的方程没有解的情况，只考过一次，这个时候找未知参数的边界点，取值范围的定义域找到它，这个2000年考过一次，这个大家要注意，有解没有解的都会做了你就不怕他考了。

问：请讲讲数四怎样复习？侧重什么？考题和数三有很大不同吗？

曹显兵：数学四与数学三比较来说内容要少一些，比如高等数学部分里面微积分里面少了无穷级数不考。概率统计整个统计数学四不考只考概率论部分，考试分数值跟数学三是一样的，概率统计考38分。与数学三题目的难度我想相同内容的部分差不多，而且很多题是相同的，概率论每年大题至少有一道与数学三是一样的。从难度上面来说我个人认为差不多。至于说各个章节的重点，我举一个例子，拿数学四概率论来说，你说这部分内容最重要的内容是什么，那就是概率论里面求分布函数是历年考试的重点，或者分布率是考试的重点。今年数学一的概率论有一个8分题，就是求分布函数，数学三两个12分题都是求分布函数，这一、两个题有一个求分布函数的题是比较简单的，我们讲课的时候一般都讲过。数学四也是有一个大题13分求分布函数，每一年考试不直接考分布函数也会间接的考，它是贯穿概率始终的，它是最重要的。你自己想想就是求数学期望，你要把一些看上去很复杂的东西你要找出来它的本质，也就是要把问题看透。

问：请问在数学二中今年考试大纲中新增多元微分考试要求，请问今年考试如何把握？

曹显兵：数学二这位网友说的不对，增加了多元函数的微分和积分，2004年这个章节肯定得考，每年新增加一章内容肯定要考，不象增加一个小小知识点不一定考，增加一个整个章节肯定得考。而且考试的难度应该是最基本的，你这个基本知识、基本概念、基本计算方法掌握了基本就可以了。一个是微分这个地方，多元函数微分重点在复合函数的偏导数，尤其是隐函数的偏导数，你不要做太复杂的，你做一些简单的就可以了。数学二的同学只要把基本的多元复合函数、多元隐函数的偏导数掌握就可以了。另外一个地方要注意的是积分的计算，这个地方也是个重点，多元函数微分和积分。X型区域、Y型区域怎么样找到积分限，计算方法你掌握了这个题是没有问题的。

问：我概率这块掌握的不够扎实，复习很困难，我应该怎样才能更好的复习概率这部分内容？

曹显兵：概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。

问：请老师讲一些具体题目，或者讲一些例题。

曹显兵：我讲一个例子，让同学们看看概率统计这门课的特点。分布函数是考试的重点，我们看一个求分布函数的题。(请同学们通过视频观看曹显兵教授现场讲解例题)

问：请问线性代数概念比较多，请问应该怎样复习比较好？

曹显兵：线性代数同学们最难掌握的应该是下面这部分，主要是一些逻辑推理这部分结论比较多，线性关系的判断定理很多，这部分一个是这些定理要记住，记住之后还要会用，达到这个层次要通过做一定数量的题加深对它的理解，死记硬背不行，数学跟政治不一样，数学需要理解。例如：如果一个向量组线性相关的话，我们将一些向量加入向量组，这个向量组还是线性相关的。如果原来向量组是线性无关的话，加向量进来不一定是线性相关的。通过这样的比较去记忆它。还有一个重点结论，那就是一个向量组由另外一个向量组线性表示，而第一个向量组是线性无关的，第二个向量组一定大于等于第一个向量组向量的个数，这个结论不大好记，2003年考了，这是一个重要的结论，我一般要求同学这么记，那就是说一个无关的向量组，不可能由一个含向量组的个数比它少的向量组表示它。一个高维空间里面的东西，比如一个立体的东西不能放到一个平面上去，这就是一个直观的几何意义，三维空间你只能放到三维、四维、五维空间里面，但是不能放到二维里面去。一个线性无关的向量组不可能由一个比它个数还少的向量组表示它。

问：老师能讲讲今年概率论重点是什么？今年可能要考的知识点是什么？

曹显兵：这个问题不好说，这个问题比较大，要是我预测一下的话，这么几个知识点你可以把握一下，平常我们讲课当中的重点当然要复习。比如事件的关系和概率的性质，我认为这个地方会考一个小题，这个地方要熟练掌握。另外一个需要注意的是BERMOULLI（贝努利），因为这个里面涉及到一个重要的分布，我统计一下历年考试，这几种分布考查过，考的最多排在前面三位的是正态分布、贝努利分布，指数分布，BERMOULLI排第二位，这里面一个重要的问题这几年一直在考。再就是求分布函数的题一定要多看两个例子，这个基本得考。去年我在这个地方讲一个题，考的题比我讲的简单一些，就是一个13分求分布函数的题。这是碰上的，不是押上的，求分布函数这个地方是一个问题。另外二维求联合分布率，另外一个问题是求数学期望，求数字特征。统计这部分最可能考的应该还是参数估计还有估计的评价标准，评价标准主要是无偏性和有效性的考查，特别提醒2004年考生，这是大纲里面规定的一章内容，连续五年没有考了，我感觉2004年会考一个小题，考一个什么小题我可以说的差不多，那就是三种考法，一种把统计写出来，另外一种考法要考生写出统计，他说出是哪一种类型的检验，要有什么检验统计量你要会做出来，另外就是给出假设统计量，把你的结论写出来，这四个步骤要掌握，这个地方考大题可能性不大，可能会考一个小题。2004年考生要看一下这部分内容，虽然不是考试重点，但是可能会考，是最基本要求的考查。

问：每年都考点估计今年会不会考矩估计？

曹显兵：三种估计方法前面这两者是重点，都叫做点估计，矩估计是点估计一种，矩估计2002年考了，2002年数学三、数学一都考了，数学三考连续性总体，数学一考离散型总体，其实矩估计这个题同学应该好好复习，如果只有一个参数的话就是把数学期望求出来，总体就是随机变量，只要会求期望就会求一个参数矩估计，两个参数矩估计就多求一个，两个参数的矩估计多求一下期望就可以了，两个方程解一个方程组，两个参数的矩方程从来没有考过，不妨看看，因为没有考过两个参数的矩估计。

问：假设检验会有几分题？

曹显兵：这个不是重点，数学一1998年考过一次，数学三也只考过一次，我个人认为1997年把统计加进来，连续五年没有考假设检验，我想要是考也是考一个4分的小题。而且是最低要求的考查，不会考太难，难了大家都做不出来等于没有考，不是考查的重点内容。

问：请问线性代数二次型在今年数二中会考吗？

曹显兵：数学二不考二次型。极限定理这一章没有前面的分布、数字特征重要，数学三、数学四这部分考过多次了，一般不考导数定律。数学一也不是考试重点。

问：数一比数二、数三多出来的考点考的可能性大不大？是否必须考？

曹显兵：数学一比其它多出来的内容是不是一定考，我可以回答你一定会考，否则的话数学一跟数学三就没有区别了，所以这个要考。多出来的内容肯定得考，但是象小块不是重点的内容不一定考。多出来一整块内容肯定要考，这是考生需要注意的。

问：数理统计中考试重点是什么？参数估计占多大比重？

曹显兵：参数估计这部分它占数理统计的一多半内容，参数估计这块应该是最重要的。统计里面第一章就是关于样本还有统计量分布这部分，这部分就是求统计量的数字特征，统计量是随机变量。统计里面有什么题型？一个参数估计，一个求统计量数字特征或者求统计量的分布，统计量是随机变量，任何随机变量都有分布。自然会有这样的题型。求统计量的数字特征，求统计量的分布，然后参数估计，然后估计的标准。统计这个内容对大家来说应该是比较好掌握的，题型比较少，你比较好把这个题做好。

问：数二特征值、特征向量是重点吗？

曹显兵：2002年考题第一次考，但是考的是最简单的。2003年考试时候难度增加了，考了一个对角化的问题，这是最核心的一部分，这部分肯定会考。重点还是放在我们矩阵的相似或对角化上面。实对称矩阵做要求了，但是实对称矩阵对数学的要求比其他数学考试低一些，这个地方要考也就是考你怎么把对称性矩阵变成对角矩阵。

问：数三概率与数理统计会占总分百分之几？大概有几道？

曹显兵：38分，占25%。大题两道，13分一道，数学里面最高分数的题就是13分。

问：大纲里的理解、掌握、了解会用等等要求，哪个要求最高？哪个要求最重要？

曹显兵：掌握和理解是要求最高也是最重要的，了解是要求比较低。

问：数一中假设检验怎么考？参数估计中区间估计的公式是否都要记住？也就是统计量及其分布这些公式很复杂如何更好记忆，历年考试出现的好象不是特别多，今年是否会有变化？

曹显兵：区间估计不是考试重点，属于最低层次的，你只要知道两到三个区间公式就可以了，以前只考过前面两个，你多记一个留有一些余地，这个地方要求比较低，复杂的公式你不一定非得记住。

问：第一轮复习结束之后从现在开始应该如何安排时间和重点问题？

曹显兵：怎么复习我在前面说了，我不重复了，至于哪些是重点，我挑一门课程说说，不能全部说，一下子说不完。拿线性代数来说，行列式这部分什么是重点呢？那就是行列式的按行展开，行列式只有三个东西，这你要掌握的非常熟练，重点的地方不仅仅知道这个结论还要知道这个结论怎么用它，难度稍微大一点的题也要会做。这部分是重点，应该熟练掌握，另外矩阵运算这部分，这是线性代数一个最基本的东西，区别于微积分的一个标志，同学从小学开始习惯数的运算，对矩阵运算不太熟练，与数字运算不同的东西一定要引起注意。我们说数学题难与不难是相对的，你如果站在比较高的角度时候，或者你比老师站的角度还高的时候你答题的时候就觉得比较简单了。比如两个矩阵乘起来等于零，如果你能够看到隐含的结论，我想线性代数的题就不难了。方程组解的判定是重点要熟练掌握。另外特征值这部分每年都考，这部分把前面行列式矩阵方程组综合到一块，所以这部分一定要多花一点时间复习，是必考无疑的。

问：数学基础比较差但是要求过国家线现在应该抓那些部分复习？近几年国家数学分数线如何？今年怎么预测？

曹显兵：分数线国家确定一个最低的分数线，这个最低的分数线各个学校不一样，根据各个学校的生源，同一个学校不同专业还不一样，这个只能要求国家最低分数线，数学一般在50分上下，题目难一点在40分左右。我记得考得比较难一点的年份，2001年还有1998年当年分数线国家控制在40分，分A、B、C类地区，B、C类38分就可以了，有一年41分。这个会根据考试的结果来确定分数线，因为是选拔性考试，题考的再难也要录取学生，还要录取同样多的人数，从历年设计试卷来看高也高不出60分。

问：请问老师预计一下今年数学一概率和数理统计综合应用题会考哪个考点？

曹显兵：这个不好说，我不是出题人。但是还是可以说说，今年我们考了一个求概率的题，还考了一个求数学期望的题，另外还有一个小题，今年数学一的统计考16分，这是不太正常的，明年不会出现这种情况。明年正常情况统计那部分应该是9分左右的题，具体考什么的话，推测一下我说大一点，应该是求分布这个地方会考一个大题，或者是求数字特征这个地方会考大题。另外统计这部分就是求统计量，求这种随机变量的数字特征或者分布，或者把参数估计求出来，这还是次要的，这不是考试重点，这个题重点不会在这个上面，不仅让你把估计求出来，而且让你对估计进行评价。这部分考一个小的题目是可以的。

我在这里预祝大家一个是脚踏实地，但是也要充满信心，不要把考研认为是很难的事情，考研70%的题是基本题，就是你不要眼高手低，不要盲目做难题，你把基本概念掌握了，你考110分左右不难，但是要考135分以上要稍微难一些。我们一个要脚踏实地不忽略基础，另外也要充满信心，一定会考出满意的成绩，祝大家考研成功，谢谢大家！