浙江工业大学2011年硕士研究生入学考试基础课、专业基础课考试大纲
科目代码、名称: (665)数学分析
专业类别: 学术型
适用专业: 应用数学
数学分析是本科数学教育的三大基础课之一,其主要内容包括函数与极限、一元微积分、多元微积分和级数理论等。
本门课程的考试,要求考生理解和掌握基本概念、理论和计算方法,具备综合运用所学知识分析、解决问题的能力,并对数学分析与其它课程与学科的联系有所了解。
一、考试内容及要求
1、函数与极限
(1)函数
掌握函数的定义,函数的表示法,函数的运算、复合,会求给定函数的反函数,熟悉初等函数的性质,熟悉有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数的性质。对一元函数,了解平面曲线与函数的联系与区别。
(2)数列极限
掌握数列极限的定义,可用 语言证明数列极限的存在性,不存在性,能求给定数列的极限,熟悉收敛数列的性质和数列极限存在的条件。
(3)函数极限
熟悉各种极限定义,可用 语言证明数列极限的存在性,熟悉函数极限的性质和存在条件,明确无穷小量和无穷大量阶的比较。会求给定函数极限。
(4)实数集和实数完备性
熟悉几个重要的实数集,掌握实数集上下确界概念。掌握实数完备性的几个基本定理,熟悉其证明和应用。
(5)函数的连续性
熟悉函数连续的定义,函数间断点的分类,掌握连续函数的性质。掌握一致连续的概念,能够证明和函数连续性有关的命题。
2、一元函数微分学
(1)导数
熟悉导数、左右导数、高阶导数概念,明确导数的几何意义,了解导函数的性质,掌握求导法则,会求初等函数、分段函数、参数方程决定函数和隐函数的导数、高阶导数。明确可导与连续的关系,能正确讨论函数的连续性、可导性。
(2)微分
掌握微分、高阶微分定义,微分的运算法则,求微分和高阶微分的方法。会利用微分进行近似计算
(3)中值定理与泰勒公式
掌握费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,并能利用这些定理证明命题,证明不等式。熟悉几种类型的泰勒公式,注意泰勒公式与泰勒级数的联系与区别。熟悉基本初等函数的泰勒公式,会将给定函数用泰勒公式表示。能用泰勒公式进行近似计算。
(4)函数作图
掌握函数驻点、拐点、极值、最大最小值、渐近线的求法,熟悉函数单调性、凸性的讨论,能熟练进行函数作图。
2、一元函数积分学
(1)不定积分
掌握原函数和不定积分概念,熟练掌握求函数不定积分的方法。
(2)定积分
熟悉定积分的定义、可积的必要条件和充分条件、常用可积函数类、定积分的性质、定积分的计算。熟练掌握微积分学基本定理,会求积分限为变量的函数极限、导数。掌握无穷限积分和无界函数积分的收敛判别法、绝对收敛判别法,明确定积分与非正常积分性质方面的同异。
会用定积分求平面图形的面积、立体体积、曲线的弧长、曲率。熟悉微元法。
3、多元函数及其微分学
(1)多元函数的极限与连续
掌握重极限与累次极限的定义、联系与区别,能熟练讨论极限的存在性,会求极限值。
(2)偏导、微分和方向导数
掌握偏导、微分和方向导数的概念、求法,特别是复合函数高阶偏导的求法,隐函数偏导的求法。熟悉可微性条件、几何意义与应用。能熟练讨论多元函数连续、可微、偏导连续之间的关系,能举出具有其中几种性质而不具有其余性质的多元函数例子。
能利用偏导数求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,空间曲面的切平面与法线。熟练掌握条件极值的求法,闭区域上函数的最大最小值求法。
4、多元函数积分学
(1)重积分
熟悉重积分的定义和可积性条件,熟练掌握重积分的计算、交换积分次序方法,会利用重积分计算面积、体积。
(2)曲线积分和曲面积分
掌握第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分的定义、计算方法,两类曲线积分的关系,两类曲面积分的关系,曲线积分与二重积分的关系(格林公式),曲面积分与三重积分的关系(高斯公式),曲面积分与曲线积分的关系(斯托克斯公式)。
5、级数理论
(1)数项级数
掌握级数、正项级数、交错级数的概念和收敛判别法,明确级数和数列的关系。
(2)函数列与函数项级数
掌握函数列与函数项级数一致收敛的概念、判别法、性质。注意柯西准则,和函数的连续性,级数的逐项可导、可积性。
(3)幂级数
掌握幂级数收敛半径、收敛区间的求法,熟练掌握函数的泰勒级数展开法,注意利用逐项求导和逐项积分的展开方法。
(4)傅里叶级数
熟悉傅里叶级数的收敛定理,掌握函数展开成傅里叶级数的条件与方法。
二、考试要求(包括题型、分数比例等)
计算题占40%,概念题、证明题占60%。
三、主要参考书目
[1] 数学分析,华东师大数学系编,北京:高等教育出版社(任一版本)
[2] 数学分析,欧阳光中,姚允龙,上海:复旦大学出版社,1993