昆明理工大学2012年硕士研究生招生考试大纲——616数学分析

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昆明理工大学2012年硕士研究生招生考试大纲——616数学分析

昆明理工大学硕士研究生入学考试
《数学分析》考试大纲
  适用专业:070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、071101系统理论、071102 系统分析与集成
  第一部分 考试形式和试卷结构
  一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150 分,考试时间为180 分钟.
 
  二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试.
 
  三、试卷的内容结构
  极限论       20%
  单变量微积分学     30%
  多变量微积分学     30%
级数论       20%
 
  四、试卷的题型结构
  计算题       50%
  证明题       40%
综合题       10%
 
  第二部分 考察的知识及范围
  一、极限论
  (1)透彻理解数列极限,函数极限的概念,掌握用数列极限、函数极限的定义证明有关极限问题。
  (2)掌握收敛数列的性质及运算,掌握单调有界数列收敛定理、迫敛性法则,柯西收敛原理及应用;掌握函数极限的性质及运算,熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。
  (3)掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系;掌握无穷小量阶的比较。
  (4)理解和掌握连续函数的定义和运算,解决有关函数连续性问题;掌握不连续点的类型;理解单侧极限的概念。
  (5)掌握和应用闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性);掌握初等函数的连续性,理解复合函数的连续性,反函数的连续性。
  (6)掌握实数连续性定理:闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。
7)理解平面点集的基本概念,了解矩形套定理,致密性定理、有限覆盖定理;掌握二元函数的极限,二次极限,连续性概念及计算;掌握有界闭区域上多元连续函数的性质。
 
  二、单变量微积分学
  (1)理解和掌握导数与微分概念和几何意义;能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数(特别是复合函数)。
  (2)理解可导性、连续性与可微性的关系;掌握导数的几何应用,微分在近似计算中的应用;掌握高阶导数的求法。
  (3)掌握中值定理的内容、证明及其应用;能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限;掌握泰勒公式并能应用其解决近似计算、求极限等相关问题。
  (4)掌握函数图形特征(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点及渐近线)的判定及描绘函数图形。
  (5)掌握原函数和不定积分概念;熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法和三角有理式积分法,并能利用它们来求函数的积分;会计算简单的无理函数的积分。
  (6)理解定积分概念及函数可积的条件;熟悉一些可积分函数类;掌握定积分与可变上限积分的性质;能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式,换元积分法,分部积分法计算定积分。
  (7)掌握定积分的几何应用;掌握定积分在物理上的应用;掌握"微元法"。
  (8)掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;.能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。
9)掌握含参变量定积分的性质及计算。
 
  三、 多变量微积分学
  (1)掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、高阶全微分等概念;了解多元函数可微、可导及连续的关系;掌握复合函数、隐函数的求导法则、由方程(组)所确定的函数的求导法则。
  (2)掌握隐函数的存在定理;会求曲线的切线方程和法平面方程,曲面的切平面方程和法线方程;会求多元函数的极值(条件极值和无条件极值)。
  (3)掌握二重、三重积分的概念和性质;会计算重积分;会求图形的面积,体积。
  (4)掌握两类曲线积分的概念及计算;掌握两类曲线积分的性质;掌握两类曲线积分的关系;掌握Green公式的意义及应用 。
5)掌握两类曲面积分的概念及计算;掌握两类曲面积分的性质;掌握两类曲面积分之间的关系;掌握Gauss公式、Stokes公式的意义和应用。
 
  四、级数论
  (1)理解数项级数的收敛,发散,绝对收敛与条件收敛等概念;掌握数项级数的基本性质;熟练应用正项级数敛散性判别法(比较判别法、比式判别法、根式判别法和积分判别法)与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性;能熟练应用几何级数、调和级数与p级数的敛散性。
  (2)掌握函数项级数(函数序列)收敛及一致收敛性概念;掌握一致收敛级数的性质,能够比较熟练地运用判断一致收敛性的判别法(Cauchy收敛准则, Weierstrass判别法,Abel判别法和Dirichlet判别法)判断函数项级数(函数序列)的一致收敛性。
  (3)掌握幂级数,收敛半径、收敛域、和函数等概念;会求幂级数的收敛半径和收敛域;掌握幂级数的性质并能求和函数;会把函数展开成幂级数。
  (4)掌握三角函数系的正交性与周期函数的Fourier级数的概念和性质;掌握Fourier级数收敛性判别法;能将函数展开成Fourier级数。
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