国防科技大学2020年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲
2A04《矩阵理论》考试大纲
一、参考教材
《矩阵论简明教程》（第3版），徐仲、张凯院等编著，科学出版社，2014年1月。
二、考试内容（参考教材第一章至第八章）
第一章 矩阵的相似变换
熟练掌握：矩阵特征值和特征向量的概念和计算；矩阵的初等变换；Jordan标准形的概念和计算；Hamilton-Cayley 定理；最小多项式的概念和计算；矩阵酉相似对角阵的条件和计算。
掌握：矩阵的Smith标准形、不变因子、初等因子、行列式因子的概念；Schmidt正交化； Hermite正定矩阵（半正定矩阵）的概念和结论。
了解：矩阵对角化的应用；Jordan标准形的应用；
第二章 范数理论
熟练掌握： 向量范数的定义；矩阵范数的定义；常用的几种向量范数和矩阵范数的计算；向量范数与矩阵范数的相容性。
理解：向量范数的等价；从属范数的概念；谱半径的概念和应用。
了解：向量序列的敛散性；长方阵的范数；矩阵的条件数。
第三章 矩阵分析
熟练掌握：判定幂级数的敛散性；矩阵函数值的计算；函数矩阵的微分和积分的计算；数量矩阵对矩阵变量的导数；矩阵值函数对矩阵变量的导数。
掌握：收敛矩阵的概念； 常用矩阵函数的性质。
理解：矩阵序列的敛散性；矩阵级数的敛散性。
了解：矩阵分析的应用
第四章 矩阵分解
熟练掌握：矩阵的三角分解（LDR分解、Doolittle分解、Crout分解）、QR分解、满秩分解、奇异值分解。
掌握：Hermite正定矩阵的cholesky分解；Householder矩阵、Givens矩阵、Hessenberg矩阵；矩阵的奇异值。
理解：矩阵的酉等价。
了解：矩阵的极分解。
第五章 特征值的估计与表示
熟练掌握：盖尔圆定理及应用盖尔圆隔离矩阵的特征值；Ostrowski定理及应用Ostrowski定理隔离矩阵的特征值。
掌握：矩阵的Rayleigh商。
了解：广义特征值
第六章 广义逆矩阵
熟练掌握：广义逆的定义；Moore-Penrose方程；{1}逆的计算；M-P逆的计算
掌握：{1}逆和M-P逆在解线性方程组中的应用
了解：广义逆的存在唯一性
第七章 矩阵的直积
熟练掌握：直积的定义和性质；矩阵的拉直及其与直积的关系。
理解：利用拉直和直积的关系讨论矩阵方程的求解问题。
第八章 线性空间与线性变换
熟练掌握：线性空间的定义与性质；线性空间的基、维数与坐标；线性变换的概念和运算；欧式空间的概念与标准正交基
掌握：基变换公式和坐标变换公式；子空间的概念；维数公式；向量的长度概念；度量矩阵。
理解：不变子空间；零空间。
三、试卷结构（满分100分，时间180分钟）
按题型：
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题型
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填空题
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判断题
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计算题
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证明题
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分值
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20分
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10分
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50分
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20分
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按章节内容：
| 章节
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第一章
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第二章
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第三章
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第四章
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第五章
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第六章
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第七章
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第八章
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| 分值
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15分
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10分
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15分
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15分
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8分
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20分
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10分
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7分
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注：划分的分值是近似的；同一题目可综合不同章节内容；同一内容下可设计多个小题，以区分不同侧重点或计算能力，理解能力的掌握。
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