国防科技大学2020年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码：2106   科目名称：高等数值分析

一. 考试要求

主要考查学生对计算数学与科学工程计算传统领域中的一些常用算法与新算法的理解与掌握；主要考查内容包括函数逼近、数值积分、线性方程组的直接法与迭代法、非线性方程组的迭代法、矩阵特征值与特征向量的数值计算方法、常微分方程的初值问题求解；以及运用基本概念和算法，分析解决问题的能力。

二、考试内容

1. 函数逼近

理解函数逼近的基本概念、多项式插值、有理函数逼近的理论、方法及其应用，包括Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、高次插值的收敛性、分段低次插值、样条函数插值、内积空间与正交多项式、最佳平方逼近、曲线的最小二乘拟合、最佳一致逼近；掌握插值函数的构造和误差分析。

2.  数值积分

理解数值积分的基本概念，掌握Newton-Cotes求积公式、复合求积公式、Romberg求积、Gauss型求积的构造方法。

3.  解线性方程组的直接法

理解初等矩阵的概念及其性质，掌握顺序高斯消元、列主元高斯消元、Doolittle分解、Courant分解、Cholesky分解、大型带状方程组的求解、矩阵的正交分解的思想方法。

4.  解线性方程组的迭代法

理解迭代法的概念及迭代法的收敛性的充分必要条件，掌握Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、SSOR迭代、最速下降法、共轭梯度法、预条件共轭梯度法的构造方法。

5.  非线性方程组的解法

理解压缩映射与非线性方程组求解的关系，掌握用各种Newton型迭代方法求非线性方程组的解，了解延拓法、割线法求解的基本思想。

6.  矩阵特征值与特征向量计算方法

了解用豪斯荷尔德变换、平面旋转变换求解线性方程组以及矩阵的三角分解，掌握用幂法、雅可比方法、豪斯荷尔德、QR算法求矩阵的特征值及特征向量。

7.  常微分方程初值问题解的近似计算

掌握常微分方程初值问题迭代求解的一些常用算法及误差、稳定性、收敛性、相容性等分析，了解刚性常微分方程数值方法及稳定性概念，了解微分方程数值算法的动力学性质---伪解。

考试形式为闭卷、笔试，考试时间为3小时，满分100分。

题型包括：证明题、计算题等。

四、参考书目

《数值分析》，李庆扬等. 北京：清华大学出版社，2008，第5版。