《数值分析》课程教学大纲
课程编号：100001
英文名称： Numerical Analysis
一、课程说明
1. 课程类别
学位基础课程
2. 适应专业及课程性质
全校非计算机类理工科专业，必修
3. 课程目的
（1）研究生阶段的数学教育，需特别注重对实际问题的数学建模，为数学模型求解提供有效的计算算法以及运用计算机进行求解等能力的培养与训练。
（2）数值分析是研究各种数学问题求数值解的方法，离散化、递推化是它处理问题的主要手段，误差分析是它研究的核心问题，以计算机和数学软件为工具进行数值计算是它的显著特征。因此本课程教学的重点应放在学生对数值计算技术的掌握上，要求学生以MATLAB为工具，实现各种数值计算方法的编程、数值分析中某些概念的计算机仿真实验，观察算法所产生的数值现象和体会科学计算的研究方法。
（3）在本课程的教学注重阐述概念、原理和算法，介绍各种数值计算方法的特点、适用范围和数值计算结果的分析。
4. 学分与学时
学分2.5；理论课学时为50，实验课学时为18
5. 建议先修课程
高等数学、线性代数、C程序设计基础
6. 推荐教材或参考书目
推荐教材：
（1）《数值分析》（第四版）.李庆扬，王能超，易大义编.北京：清华大学出版社，2005
参考书目：
（1）《MATLAB语言与数学实验江世宏编. 北京：科学出版社.2007
（2）《计算方法》.崔国华主编.武汉：华中科技大学出版社，2005
7. 教学方法与手段
举例说明：以求非线性方程 的唯一根 的教学方法为例。
（1）将方程 改写为等价形式 。
（2）将求 的唯一根 解释成为求曲线 与直线 的交点之横坐标 。
（3）给定初值 ，求 ，作平行线 得到与直线 交点之横坐标 。
（4）继续上述操作，生成序列 ，并作其生成过程的几何图形—蛛网图。
（5）从生成序列 的过程，可以看出该序列有可能收敛，也有可能发散。为此，我们可以用求非线性方程在 附近的根 为例，来帮助我们分析寻找迭代序列收敛条件。
① 方程等价形式为 ，迭代公式 ；
② 方程等价形式为 ，迭代公式 ；
③ 方程等价形式为 ，迭代公式 。
（6）作上述三种迭代的蛛网图，据图，我们可以发现迭代序列收敛的条件为
（ ）
（7）用动画实验来摸拟序列产生的前6项的过程。
用上述七步，引入用迭代法求非线性方程根这一概念，既介绍了计算方法，又发现了迭代序列收敛的充分条件，还向学生展示利用计算机辅助学习的方法。
这是一种借助计算机去探索与发现数学结论教学方法，这种教学法是《计算方法》这门课所需要的。因为任何数值计算方法，既需要从实际问题的求解中去归纳，又需要通过数值实验与仿真实验来检验，最终用分析方法去严格地加以证明。
（关于这门课的教学方法—即讲授方法，可参阅我们撰写的电子教案）
8. 考核及成绩评定
考核方式：考试
成绩评定：考试课（1）平时成绩占30%，形式有：考勤记录，实验成绩
（2）考试成绩占70%，形式有：闭卷期末考试
9. 课外自学要求
《计算方法》的课堂教学我们要求采用板书教学，而实验教学我们要求采用计算机多媒体与板书教学相结合的方式，并且强调要求做到实时化，编程与学生同步化。
（1）我们为学生设计的作业练习题，对于其中相当一部分作业，我们要求学生在计算机边来完成。一方面，更好地掌握应用数学软件与计算机编程技术；另一方面，我们鼓励学生学会利用计算机来辅助学习与练习，并借此提高计算机应用水平。教师对学生练习中的一些感到困难的习题，教师应在实验课中进行讲授与实际的演示计算。我们所配备的习题，基本上可以利用MATLAB来进行辅助求解，这也是我们设计这套习题的初衷。
（2）在考试中，我们为学生配备计算机或图形计算器，试题中有1-2道需要学生实际动手计算的试题。我们认为这种方式的考试，对于更全面地检测《计算方法》这门课的教学效果，促使学生更重视实验中的动手能力的培养，会起到更积极的作用。
二、课程教学基本内容及要求
本课程的内容按教学要求的不同，分两个层次。属较高要求的内容，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”来表述，方法、运算用“掌握”来表述。属较低要求的内容，应使学生一般了解，学会应用。其中，概念、理论用“了解”来表述，方法、运算用“会”来表述。
第一章 绪论 3学时
基本内容：
（1）数值分析课程的特点；
（2）有效数字；
（3）误差的概念，和误差的求解。
基本要求：
（1）了解数值分析的四个特点。即：面向计算机，可靠的数学理论分析，良好的计算复杂性，可进行数值实验；
（2）理解有效数字概念，掌握有效数字确定的方法；
（3）了解数值计算中的四个原则；
（4）理解误差的基本概念，了解误差的各种来源，会误差估计；
（5）掌握数值分析中最常用的方法，即离散化方法与递推化方法。
教学重点及难点：
（1）教学重点是理解有效数字和误差的概念，理解离散化方法与递推化方法；
（2）教学难点是有效数字和误差的关系，递推化方法的编程实现。
实验内容：
（1） 在MATLAB上，据递推式，运用手动递推方式，计算 的近似值，观察每递推一次，有效数字位数的增长情况。
（2） 利用幂级数展开式
在 的值，计算ln2的近似值（要求具有四位有效数字）并回答以下问题
① 级数的项数需要取到多少时，所求得的近似值才能达到精度要求？
② 如果改用级数
在 来计算，级数项数又该取到多少？
③ 说明两种计算方案在计算效率上，哪一个更好？找出较差方案的问题所在。
第二章 插值法 8学时
基本内容：
（1）拉格朗日插值多项式；
（2）分段插值多项式；
（3）埃米特插值多项式、三次样条插值。
（4）差商
基本要求：
（1）理解拉格朗日插值多项式、分段插值多项式、埃米特插值多项式、三次样条插值、差商等概念；
（2）掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、埃米特插值、三次样条插值，会在MATLAB环境下，通过编程计算拉氏插值、牛顿插值以及分段线性插值；
（3）了解龙格现象，并能在计算机上实现龙格现象；
（4）了解差商性质，能通过编程构造差商表；
（5）了解分段线性插值的收敛性，通过计算机仿真地演求收敛过程。
教学重点及难点：
（1）教学重点是理解插值的思想，并能够应用各种插值方法并进行分析；
（2）教学难点是计算差商，三次样条函数插值。
实验内容：
（1）拉格朗日插值多项式的存在性证明；利用拉格朗日插值基函数，计算插值多项式的值
（2）差商表的构造；牛顿插值多项式的构造及误差估计；
（3） 演示龙格现象；
（4） 分段线性插值函数的收敛性验证；
（5） 拉格朗日插值多项式、三次样条插值函数的光滑性、逼近性比较实验。
第三章 函数逼近与计算 7学时
基本内容：
（1）范数；
（2）内积；
（3）勒让德多项式；
（4）最佳平方逼近函数以及曲线拟合
基本要求：
（1）理解范数、内积、勒让德多项式、最佳平方逼近函数以及曲线拟合等概念。
（2）掌握用法方程求最佳平方逼近函数方法，曲线拟合的最小二乘法以及应用正交多项式做最小二乘拟合的方法；
（3）了解范数、内积的一般性质；
（4）了解勒让德多项式的性质；
（5）了解函数插值与曲线拟合的区别。
教学重点及难点：
（1）教学重点是理解插值的思想，并能够应用各种插值方法并进行分析；
（2）教学难点是计算差商，三次样条函数插值。
实验内容：
（1）法方程的“病态”性演示；
（2）用最小二乘法求拟合函数，并作散点图与拟合曲线图，观察拟合的效果；
（3） 对非线性模型求其最佳平方逼近函数；
（4）拟合函数系的确定的计算机实验；
（5）用正交多项式做最小二乘拟合的编程实现问题。
第四章 数值积分与数值微分 8学时
基本内容：
（1）求积公式代数精度、插值型求积公式、高斯型求积公式；
（2）李查森外推法，低阶的高斯型求积公式，求积公式余项分析；
（3）补偿值、误差事后估计。
基本要求：
（1）理解求积公式代数精度、插值型求积公式、高斯型求积公式等概念，了解求积公式数值计算上的稳定性、复化求积公式收敛性等概念，了解补偿值、误差事后估计等概念；
（2）掌握复化梯形公式、复化辛甫生公式以及它们之间的关系。
（3）掌握梯形的递推化算法、龙贝格算法。
（4）会进行李查森外推法，会求低阶的高斯型求积公式，会求某求积公式的余项估计式。
教学重点及难点：
（1）教学重点是理解数值求积分和数值微分的思想，并能够应用各种数值方法并进行微积分，并分析结果；
（2）教学难点是李查森外推法求积公式的余项估计式。
实验内容：
（1）复化求积思想的经典应用 — 定积分求积思想的动画演示；
（2）通过具体定积分数值计算，说明柯特斯求积公式在数值计算上的不稳定性；
（3） 复化梯形求积算法的实现；
（4）龙贝格T数表的构造；
（5）龙贝格算法的实现。
第五章 解线性方程组的直接方法 6学时
基本内容：
（1）矩阵范数、向量序列收敛性；
（2）矩阵LU分解；
（3）高斯顺序消去法、高斯列主元消去法、平方根法、追赶法。
基本要求：
（1）理解矩阵范数、向量序列收敛性等概念，了解矩阵范数与向量序列的相关结论；
（2）了解矩阵LU分解条件及相关结论
（3）了解线性方程组求解中的误差分析方法。
（4）掌握高斯顺序消去法、高斯列主元消去法、平方根法、追赶法。
（5）会用高斯全主元消去法解线性方程组。
教学重点及难点：
（1）教学重点是应用高斯顺序消去法、高斯列主元消去法求解线性方程组；
（2）教学难点是应用平方根法、追赶法求解线性方程组；
实验内容：
（1）高斯顺序消去法。
（2）高斯列主元消去法。
（3） 运用矩阵的LU分解解线性方程组。
（4）用改进平方根法解线性方程组。
（5）用追赶法解三对角线方程组。
第六章 解线性方程组的迭代法 6学时
基本内容：
（1）迭代法收敛、矩阵序列收敛概念；
（2）雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法；
（3）数矩阵为严格对角占优阵时采用雅可比迭代、高斯—塞德尔迭代的收敛性。
基本要求：
（1）理解迭代法收敛、矩阵序列收敛概念。
（2）理解迭代法基本定理。
（3）掌握雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法
（4）了解系数矩阵为严格对角占优阵时采用雅可比迭代、高斯—塞德尔迭代的收敛性。
教学重点及难点：
（1）教学重点是掌握雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组；
（2）教学难点是通过判别系数矩阵的类型来确定用雅可比迭代、高斯—塞德尔迭代的收敛性。
实验内容：
（1）矩阵运算形式的雅可比迭代法
（2）矩阵运算形式的高斯—塞德尔迭代法，雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代在计算
效率上的比较。
（3） 分量形式的高斯—塞德尔迭代
第七章 非线性方程求根 6学时
基本内容：
（1）迭代法的不动点、整体收敛性、局部收敛性、收敛阶的概念；
（2）二分法、牛顿迭代法、改进的牛顿迭代法；
（3）埃特金迭代法、弦截法、改进的弦截法。
基本要求：
（1）了解迭代法的不动点、整体收敛性、局部收敛性、收敛阶等概念。
（2）掌握二分法、牛顿迭代法、改进的牛顿迭代法。；
（3）会埃特金迭代法、弦截法、改进的弦截法。
教学重点及难点：
（1）教学重点是应用牛顿迭代法计算求解非线性方程的根；
（2）教学难点是会讨论各种迭代法的收敛性，并理解为何要进行讨论；
实验内容：
（1）二分法求非线性方程根的过程演示。
（2）迭代式的收敛性或发散性的几何演示。
（3） 通过数值计算实验，说明埃特金方法确实具有加速收敛的效果
（4）牛顿迭代法求非线性方程根的相关问题研究。
（5）弦截法求非线性方程根，弦截法与快速弦截法的比较研究。
第八章 常微分方程数值解法 6学时
基本内容：
（1）局部截断误差、整体截断误差、单步法的收敛性与稳定性的概念；
（2）微分方程数值解的步进式数值计算公式；
（3）线性多步公式，四阶阿当姆斯预校系统。
基本要求：
（1）理解局部截断误差、整体截断误差、单步法的收敛性与稳定性等概念。
（2）掌握求微分方程数值计算公式的局部截断误差的方法。
（3）掌握求微分方程数值解的步进式数值计算公式的一般构造方法。
（4）掌握用改进的欧拉公式、四阶经典公式求微分方程初值问题的数值解。
（5）了解线性多步公式的一般构造方法，掌握四阶阿当姆斯预校系统求微分方程初值问题的数值解，了解改进后的四阶阿当姆斯预校系统。
教学重点及难点：
（1）教学重点是掌握技术常微分数值解的欧拉公式，改进的欧拉公式、四阶经典公式；
（2）教学难点是掌握建立预报校正系统的意义，并掌握如何建立；
实验内容：
（1）欧拉公式几何意义的验证。
（2）改进的欧拉公式与欧拉公式的比较研究。
（3） 用四阶经典公式求微分方程数值解。
（4）用四阶阿当姆斯预校系统求微分方程数值解。
三、课程学时分配
本课程计划68学时，其中讲课50学时，实验18学时。课程主要内容和学时分配见课程学时分配表：
课程学时分配表
|
教学环节
时数
课程内容
|
讲课
|
实验
|
习题
|
讨论
|
小计
|
|
第一章 绪论
|
3
|
2
|
|
|
5
|
|
第二章 插值法
|
8
|
3
|
|
|
11
|
|
第三章 函数逼近与计算
|
7
|
3
|
|
|
10
|
|
第四章 数值积分与数值微分
|
8
|
2
|
|
|
10
|
|
第五章 ※解线性方程组的直接解法
|
6
|
2
|
|
|
8
|
|
第六章 解线性方程组的迭代法
|
6
|
2
|
|
|
8
|
|
第七章非线性方程求根
|
6
|
2
|
|
|
8
|
|
第八章常微分方程数值解法
|
6
|
2
|
|
|
8
|
|
总计
|
50
|
18
|
|
|
68
|
您现在的位置： 