全国硕士研究生入学考试
《数学分析》课程考试大纲
一、考查目标
长江大学信息与数学学院应用数学硕士研究生入学《数学分析》课程考试是为招收应用数学专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试，主要目的是测试考生对数学分析基本内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法，具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试形式和试卷结构
1、试卷满分及考试时间
本试卷满分150分钟，考试时间180分钟。
2、答题形式为闭卷、笔试
3、试卷题型结构
以综合应用题为主
三、考试内容与要求
1、极限和函数的连续性
主要内容
映射与函数；数列的极限、函数的极限；函数的连续性和一致连续性；函数和连续函数的各种性质。
主要要求
（1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。
（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。
（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理， Weierstrass聚点定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。
（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。
（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理。
2、一元函数微分学
主要内容
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
主要要求
（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。
（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
3、一元函数积分学
主要内容
不定积分、定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的关系；定积分的应用；反常积分的概念和反常积分的敛散性。
主要要求
（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。
（2）掌握定积分的概念与性质，包括上、下和，上、下积分及可积条件与可积函数类。
（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积。
（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。
4、无穷级数
主要内容
数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开，傅里叶级数。
主要要求
（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。
（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。
（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。
（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。
（7）掌握傅里叶级数的概念与性质。
5、多元函数微分学与积分学
主要内容
多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、曲线积分和曲面积分，反常积分。
主要要求
（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分
（2）掌握隐函数存在定理。
（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。
（4）掌握重积分、曲线积分和曲面积分的计算。
（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。
6、含参变量积分
主要内容
含参变量正常积分、含参变量反常积分的概念、性质。
主要要求
（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分的概念与性质。
（2）熟练掌握变上限积分及其性质。
四、主要参考书目：
《数学分析》，华东师范大学数学系编，版次：2001年6月第3版，高等教育出版社出版
一、数学分析课程考试的性质
长江大学信息与数学学院应用数学硕士研究生入学《数学分析》课程考试是为招收应用数学专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试，主要目的是测试考生对数学分析基本内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。
二、考试的基本要求
要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法，具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试方法和考试时间
数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为3个小时。
四、考试内容和考试要求
1、极限和函数的连续性
主要内容
映射与函数；数列的极限、函数的极限；函数的连续性和一致连续性；函数和连续函数的各种性质。
主要要求
（1）熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。
（2）掌握极限的性质及四则运算法则，能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。
（3）熟练掌握：区间套定理，确界存在定理，单调有界原理， Weierstrass聚点定理，Heine-Borel有限覆盖定理，Cauchy收敛准则；并理解其相互关系。
（4）熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。
（5）熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质：有界性定理、最值定理、介值定理。
2、一元函数微分学
主要内容
微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式；导数的应用。
主要要求
（1）理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。
（2）熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。
（3）熟练掌握Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理以及Taylor展式。
（4）能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凹凸性。
（5）掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。
3、一元函数积分学
主要内容
不定积分、定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的关系；定积分的应用；反常积分的概念和反常积分的敛散性。
主要要求
（1）理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，初等函数的积分。
（2）掌握定积分的概念与性质，包括上、下和，上、下积分及可积条件与可积函数类。
（3）熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。
（4）能用定积分计算：平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积。
（5）理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法，Abel判别法和 Dirichlet判别法。
4、无穷级数
主要内容
数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条件收敛；函数项级数的
收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开，傅里
叶级数。
主要要求
（1）理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。
（2）熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，比式判别法和根式判别法，积分判别法。
（3）熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的Leibnitz判别法。掌握绝对收敛级数的性质。
（4）熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的Cauchy收敛准则， Weierstrass判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法。
（5）掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。
（6）熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。
（7）掌握傅里叶级数的概念与性质。
5、多元函数微分学与积分学
主要内容
多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念及其性质、曲线积分和曲面积分，反常积分。
主要要求
（1）理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多元函数的偏导数与全微分。
（2）掌握隐函数存在定理。
（3）会求多元函数的极值和条件极值，了解偏导数的几何应用。
（4）掌握重积分、曲线积分和曲面积分的计算。
（5）熟练掌握Gauss公式、Green公式及Stoks公式。
6、含参变量积分
主要内容
含参变量正常积分、含参变量反常积分的概念、性质。
主要要求
（1）掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分的概念与性质。
（2）熟练掌握变上限积分及其性质。
五、主要参考书目：
《数学分析》，华东师范大学数学系编，版次：2001年6月第3版，高等教育出版社出版
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