长沙理工大学2012年硕士研究生招生考试大纲——541 实变函数

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长沙理工大学2012年硕士研究生招生考试大纲——541 实变函数

一、集合:集合的表示法;集合的基本运算;集合序列的上、下限集。集合的势的定义,势的性质,势的比较。常见集合的势及其基本性质。
 
二、点集:n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念,明确开集的构造.理解完备集的概念,特别要掌握Cantor 集。
 
三、测度论:外测度概念,外测度与体积的关系,可测集的定义及其性质,包括可测集经交、并、差运算后的可测性,可数个可测集的交集或并集的可测性、可数可加性以及可测集序列的极限之可测性。Borel集类;Lebesgue可测集的结构。
 
四、可测函数:可测函数的概念,可测函数的特征性质,简单函数的有关性质。掌握“几乎处处收敛”与“测度收敛”以及“近一致收敛”的概念,并了解它们之间的关系。
 
五、积分论:Lebesgue积分的科学意义,有界可测函数Lebesgue积分的定义及其基本性质,一般可测函数积分的定义,Lebesgue积分与广义Riemann积分的异同,一般可测函数积分的性质。Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系。Lebesgue积分的极限定理,包括Levi定理、Fatou引理、 Lebesue控制收敛定理以及Riemann可积的充要条件。掌握L 积分的概念,理解L 积分和R 积分的关系.掌握L 积分的性质,对有关L 积分的三个极限定理要理解,特别是Levi 定理。
 
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