黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：自命题数学一 考试科目代码：[601]
一、考试要求
具有高中代数，平面解析几何，立体几何等基本知识。要求考生掌握一元函数微积分及其应用；常微分方程；空间解析几何；多元函数微积分及其应用；级数的一般理论及综合运算能力。
二、考试内容
第一章函数与极限
1 映射与函数
集合，映射，函数。
2 数列极限
数列极限的定义，收敛数列的性质。
3 函数的极限
自变量趋于无穷大时和自变量趋于有限点时函数的极限的定义，函数极限与数列极限的关系，函数极限的性质。
4 无穷小与无穷大
无穷小的定义与性质，无穷小与无穷大的关系。
5 极限运算法则
函数的极限与无穷小量的关系，极限的各种运算法则的证明，应用运算法则求极限。
6 极限存在准则，两个重要极限
极限存在的两个准则，两个重要极限。
7 无穷小的比较
无穷小的阶的比较，等价无穷小之间的关系，等价无穷小替换求极限。
8 函数的连续性与间断点
函数的连续性的定义，左连续和右连续的定义，函数的间断点及间断点的类型。
9 连续函数的运算与初等函数的连续性
连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，初等函数的连续性。
10 闭区间上连续函数的性质
有界性与最大、最小值定理，零点定理与介值定理。
第二章导数与微分
1导数的概念
引例，导数的定义与几何意义，函数可导性与连续性的关系。
2函数的求导法则
函数的和、差、积、商的求导法则，反函数、复合函数的求导法则。
3高阶导数
4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率。
5函数的微分
微分的定义，微分的几何意义，基本初等函数的微分公式，微分运算法则，微分在近似计算中的应用。
第三章微分中值定理与导数的应用
1微分中值定理
Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理。
2 洛必达法则
洛必达法则及其应用。
3 泰勒公式
Taylor公式及其应用。
4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性的判定法，曲线的凹凸性与拐点。
5 函数的极值与最大值
函数的极值及其求法，最大值、最小值问题。
6 函数图形的描绘
7 曲率
弧微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。
第四章不定积分
1 不定积分的概念与性质
原函数与不定积分的概念，基本积分表，不定积分的性质。
2 换元积分法
第一类换元法，第二类换元法。
3 分部积分法
分部积分法及应用。
4 有理函数的积分
有理函数的积分，可化为有理函数的积分举例。
第五章定积分
1 定积分的概念与性质
定积分问题举例，定积分的定义，定积分的性质。
2 微积分基本公式
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系，积分上限函数及其导数，Newton—Leibniz公式。
3 定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法，定积分的分部积分法。
4 反常积分
无穷限的反常积分，无界函数的反常积分。
第六章定积分的应用：
1 定积分的元素法
定积分元素法的认识。
2 定积分在几何学上的应用
平面图形的面积，立体的体积，平面曲线的弧长。
3 定积分在物理学上的应用
变力沿直线所作的功，水压力，引力。
第七章空间解析几何与向量代数
1 向量及其线性运算
向量的概念，向量的线性运算，空间直角坐标系，利用坐标作向量的线性运算，向量的模、方向角、投影。
2 数量积 向量积 混合积
两向量的数量积、向量积。
3 曲面及其方程
曲面方程的概念，旋转曲面，柱面，二次曲面。
4 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。
5 平面及其方程
平面的点法式方程，平面的一般方程，两平面的夹角。
6 空间直线及其方程
空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角，直线与平面的夹角，杂例。
第八章多元函数微分法及其应用
1 多元函数的基本概念
平面点集、多元函数的概念，多元函数的极限与连续性。
2 偏导数
偏导数的概念、计算，高阶偏导数。
3 全微分
全微分的概念，全微分存在的条件及计算。
4 复合函数微分法
复合函数的导数与微分。
5 隐函数微分法
一个方程的情形。
6 多元函数微分学的几何应用
空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线，方向导数。
7 多元函数的极值
多元函数的极值，最大（小）值，条件极值。
第九章重积分
1 二重积分的概念与性质
二重积分的概念与性质。
2 二重积分计算法
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。
3 三重积分
三重积分的概念，在直角坐标系下计算三重积分，三重积分的柱面坐标与球面坐标换元法。
4 重积分的应用
面积，体积，质心的坐标，转动惯量及引力。
第十章曲线积分与曲面积分
1 对弧长的曲线积分
第一类曲线积分的概念、性质与计算。
2 对坐标的曲线积分
第二类曲线积分的概念、性质与计算，两类曲线积分之间的联系。
3 Green（格林）公式及其应用
Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分求积。
4 对面积的曲面积分
对面积的曲面积分的概念与性质，对面积的曲面积分的计算方法。
5 对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分的概念与性质，对坐标的曲面积分的计算方法，两类曲面积分之间的联系。
第十一章无穷级数
1 常数项级数
常数项级数的概念与性质。
2 常数项级数的审敛法
正项级数及其收敛法，交错级数及Leibniz（莱布尼兹）定理，绝对收敛与条件收敛。
3 幂级数
函数项级数及其收敛域，幂级数的收敛域及收敛区间，幂级数的运算。
4 函数展开成幂级数
泰勒级数，函数展开成泰勒级数。
5 Fourier（傅里叶）级数
三、试卷结构
1.考试时间：180分钟
2.试卷分值：150分
3.题型结构：
（1）选择题20分
（2）填空 20分
（3）大题（包括证明题、计算题） 110分
四、参考书目
《高等数学》（第五版），同济大学应用数学系，高等教育出版社。
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