1、假设由自动线加工的某种零件内径ξ(单位:mm)服从正态N(μ,1)分布,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品,销售每件不合格品亏损,已经销售利润T(单位:元)与销售零件的内径ξ关系为:
问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?(答案:μ≈10.9)
【思路】利润L=-1*φ(10-μ)+20*[φ(12-μ)- φ(10-μ)]-5*[1-φ(12-μ)]=25φ(12-μ)-21φ(10-μ)-5
=25∫1/(2π)^0.5e^(-0.5x^2) 从-∞到12-μ的积分
-21∫1/(2π)^0.5e^(-0.5x^2) 从∞到10-μ的积分 -5
对上式求导得
L’=1/(2π)^0.5(21e^[0.5(10-μ)^2]-25 e^[0.5(12-μ)^2]
令L’=0即可以求得μ=10.9
此时销售一个零件的平均利润最大.
2、设某种商品每周的需求量ξ是服从区间[0,30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间[10,30]的某一整数,商店每销售1单位的商品可获利500元,若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元,若供不应求,则从外部调剂供应,此时每单位仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量。
(这道题绕老绕去,把我给整晕了,希望高手指点迷津!书上的答案是24)
【思路】设进货量为N,需求量X,则
N<X≤30时,利润Y=300(X-N)+500N=300X+200N
10≤X≤N时,利润Y=-100(N-X)+500X=600X-100N
已知X~区间[0,30]上的均匀分布
则E(Y)=∫Y*1/20 从10到30积分
=1/20∫(300X+200N)dx (从N到30积分)+1/20∫(600X-100N)dx (从10到N积分)
=-7.5N^2+350N+5250≥9280
得,62/3≤N≤26 所以N=21
3、设a, b是正整数,且x2+ax+2b=0和x2+2bx+a=0各有实根,则a+b的最小可能值是?
【思路】1、两个方程的△都应大于等于0,得:a2≥8b(1)式; b2≥a(2)式。
2、由(2)式得:b≥a1/2,代入(1)得:a2≥8*a1/2,所以,a≥4,(等号成立时,b=2)
3、由(1)式得:a≥(8*b)1/2,代入(2)得:b1/2≥≥(8*b)1/2,所以,b≥2,(等号成立时,a=4)
4、由以上可知,当a取最小值4时,b取最小值2,所以a+b的最小值为6
4、设一年中第i季度某地段发生交通事故的次数Xi服从参数为λi的泊松分布。i=1,2,3,4,并且各季度发生交通事故的次数互不影响。求:、
(1)该地段上半年发生交通事故次数的分布;
(2)该地段连续10年,上半年发生交通事故总和的平均次数;
(3)若记Z表示连续10年中,该地段上半年未发生交通事故的年数,计算EZ与DZ。
【思路】(1)该地段上半年发生交通事故次数的分布;
设pi(i=0,1,2...)第季度某地段发生交通事故的次数X1=i服从参数为λ1的泊松分布;
qj(j=0,1,2,...)第2季度某地段发生交通事故的次数X2=j服从参数为λ2的泊松分布;
k=0,1,2...为上半年某地段发生交通事故Y的次数
已知pi=[(λ1^i)*e^(-λ1)]/i!;qj=[(λ2^j)*e^(-λ2)]/j!;
P{y=k}=pi*pj(i+j=k的所有组合)=西格阿{[(λ1^i)*e^(-λ1)]/i!}*{[(λ2^j)*e^(-λ2)]/j!}=[(λ1+λ2)^k*e^(-λ1-λ2)]/k!
该地段上半年发生交通事故次数的分布[(λ1+λ2)^k*e^(-λ1-λ2)]/k!
(k=1,2,3....)
(2)该地段连续10年,上半年发生交通事故总和的平均次数;
E(Y)=λ1+λ2
10年平均次数有独立性知为10*E(Y)=10(λ1+λ2)
(3)若记Z表示连续10年中,该地段上半年未发生交通事故的年数,计算EZ与DZ。
上半年未发生交通事故概率为u=P{Y=0}=e^(-λ1-λ2)
上半年发生交通事故概率为v=1-P{Y=0}=e^(-λ1-λ2)
连续10年中该地段上半年未发生交通事故的年数服从二项分布(10,u)
EZ=10*u
DZ=10*u*v
5、设随机变量X1与X2相互独立同分布,X1的概率函数为P(X1=i)=1/3,i=1,2,3.
令X=max(X1,X2),Y=min(X1,X2)
(1)求二维随机向量(X,Y)的联合分布;
(2)求X与Y的协差阵。
6、 先看四道题:
1 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成甲,乙两组(组不同,计次序),每组2个元素(平均分),有几种分法?
c(4,2)*c(2,2)=6
2 把a1,a2,a3,a4四个不同的元素分成两堆(堆相同,不计次序),每堆2个元素(平均分),有几种分法?
c(4,2)*c(2,2)/2!=3
3 把6件不同的奖品分成三堆(堆相同,不计次序),一堆1件,一堆2件,一堆3件(不平均分),有几种分法?
c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)=60
4 把6件不同的奖品分给甲,乙,丙三个人(人不一样,计次序),一人1件,一人2件,一人3件(不平均分),有几种分法?
c(6,1)*c(5,2)*c(3,3)*3!=360
【思路总结】
n个不同的元素,分成m个和n-m个两组(当然两组以上相同),有几种分法?
公式一:计次序(即组不一样);平均分(即m=n-m)
(也可以写成n!/m!*(n-m)!)
公式二:计次序(即组不一样);不平均分
2!(2!是组数的阶乘)
公式三:不计次序(即组看成一样,无区别);平均分
/2!
公式四:不计次序(即组看成一样,无区别);不平均分
这四个公式是这类问题的万能公式,关键在于搞清是不是平均分,计不次序,学会了这类问题就迎刃而解了,但是要活学活用,不能死套
例如:把9本书分甲2本,乙3本,丙4本,有几种分法?
从题上看是不平均分,计次序,应该用公式二,但是次序已经固定了,甲2本,乙3本,丙4本,应该用公式四,c(9,2)*c(7,3)*c(4,4)=1260.
公式一与公式四的结果一样。
7、 假设当鱼塘中有X公斤鱼时,每公斤鱼的捕捞成本是2000/(10+X)元,已知鱼塘中现有鱼10000公斤,问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需要花费多少成本?答案:2000*ln(10010/4010)
【思路】所求成本= = 2000*ln(10010/4010)
8、设某工厂生产某型号的车床,年产量为A台,分若干批进行生产,每批生产准备费为B元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半,设每年每台库存费为C元,问如何选择批量,使一年中库存费与生产准备费之和最小.
【思路】一年中库存费=XC/2
一年生产准备费=BA/X
所求的和= XC/2+ BA/X≥2 =
当XC/2=BA/X 即X= 时取等号
9、设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定T=0)就售出,总收入为R0元,如果窖藏起来待来年按陈酒价格出售,T年末总收入R(T)= R0 元,假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少煎售出可以使总收入的现值最大. 答案:T0=1/(25*r2)
【思路】复利意义:现在1元年利率2%,则一年后1*(1+0.02)1;
二年后1*(1+0.02)1 *(1+0.02) 1=1*(1+0.02) 2……第n年后有1*(1+0.02)n元,现值也就是多少年后的1元钱相当于现在的多少元钱,即设第n年后的1元,则1=x*(1+0.02) n其中的x就是第n年后1元的现值。
设T年末总收入的现值f(T),则f(T)= R0 /((1+r) T)
10、在一大批元件中只有40%合用的,现一个个的随机从中取元件,取到5个合用的为止,记 X 是所取的元件总数,求 X 的期望和方差.
【思路】设第一次取到合用的为止共取x1个元件,从第一次取到合用到取到第二个为止取了x2个元件,从第二次取到合用到取到第三个为止取了x3个元件,从第三个取到合用到取到第四个为止取了x4个元件,从第四次取到合用到取到第五个为止取了x5个元件,这五个事件相互独立,且符合参数为0.4的几何分布,故∑Xi=1/0.4
则X=X1+X2+X3+X4+X5
∑X=∑X1+∑X2+∑X3+∑X4+∑X5=5/0.4(其实你只是需要比机工版本上的“常见分布的数学期望和方差”多记一个就行了:
几何分布 EX= EX2= DX= )