数学的提高6:节约脑力--怎样构造函数,解决有关柯西定理的证明题

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数学的提高6:节约脑力--怎样构造函数,解决有关柯西定理的证明题

文章六 I 节约脑力--怎样构造函数,解决有关柯西定理的证明题 先举个例子设函数F(X)在[A,B]连续,在(A,B)可导,且F(A)=F(B)=0,求证存在S属于(A,B),使 S*F(S)+F‘(S)=0 这类问题都可以化成求S,使F(S)=G(S)*F’(S)的问题,解决方法是构造函数。 令 G1(X)=-1/G(X)的积分 Q(X)=e^G1(X) 则我们构造出F(X)*Q(X)这个函数,再用柯西定理去解决。 试试看,不用再绞尽脑汁去构造函数。 文章开头的例子的解法:求S 使S*F(S)+F‘(S)=0 即F(S)=-1/S*F‘(S)令G(X)=-1/X 则G1(X)=-1/G(X)积分=X积分=X*X/2 则Q(X)=e^(X*X/2) 现在我们构造出函数 P(X)=F(X)*Q(X)=F(X)*e^(X*X/2) 则函数P(X)在[A,B]连续,在(A,B)可导,且P(A)=P(B)=0 根据柯西定理,存在一点S,使P’(S)=0 P‘(X)=F(X)*e^(X*X/2)*X+F’(X)*e^(X*X/2) =[X*F(X)+F‘(X)]*e^(X*X/2) 存在S使P’(X)=0,因为e^(X*X/2)《》0 所以S*F(S)+F‘(S)=0 这些通用解法可以节省时间,否则要想出Q(X)=e^(X*X/2)太费劲

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