2021年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码：3107   科目名称：代数学

一、考试要求

主要考查学生对代数学基本概念的理解与掌握，具体包括考查学生对群论、环论、模论、域论基本概念的理解与掌握；以及运用基本理论和方法，分析解决相关问题的能力。

二、考试内容

1．集合论与数论

集合及其运算，等价关系与分类，欧几里得算法及其应用，同余关系，欧拉函数，费马小定理，中国剩余定理，复整数范数的概念及性质，复整数的欧几里得算法，复整数的分解，高斯定理，p-adic数和赋值的概念与性质。

2．群论

群、子群、陪集的概念及基本性质，拉格朗日定理，循环群和置换群的基本性质，集合上的群作用，轨道，有限交换群的结构，正规子群和商群的概念及性质，群同态与同构基本定理， 群的概念与性质，Sylow定理，正规群列，单群，可解群， 定理。

3．环论

环和环同态的概念与性质，子环、理想、商环、零因子、幂零元、可逆元、域的概念及性质，同态基本定理，素理想与极大理想的概念及性质，局部环，幂零元根与Jacobson根的概念及性质，理想的运算、扩张与局限，分式环的概念及性质，分式环中理想的扩张与局限，准素理想的概念及性质，理想的准素分解。

4．模论

模和模同态的概念与性质，子模和商模的概念与性质，模同态基本定理，子模的运算，直和与直积，有限生成模的概念与性质，中山政引理的内容和应用，正合列，Hom函子的左正合性，蛇形引理，张量积的概念与正合性，平坦模的概念与性质，分式模的概念与性质，分式模的运算，模的局部性质。

5．域论

分式域、分裂域的概念，单纯扩张、有限扩张、代数扩张、超越扩张、正规扩张和可分扩张等概念及其性质，有限域的概念与基本性质，域的特征，极小多项式与扩张次数，域扩张的伽罗华理论及其应用。

三、考试形式

考试形式为闭卷、笔试，考试时间为3小时，满分100分。

题型包括：计算简答题、证明题等。

四、参考书目

1．《代数学（上）》(1、2、5章)．莫宗坚等 编．高等教育出版社，2015年. 第二版

2.《Introduction to commutative algebra》. M.F. Atiyah, I.G.MacDonald. Westview Press, 1994，第一版.