2018年长春理工大学复变函数加试大纲.doc考研大纲
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2018年长春理工大学复变函数加试大纲.doc考研大纲

长春理工大学数学研究生入学加试
《复变函数》考试大纲
一、总体要求
考生应按本大纲的要求,掌握复变函数的积分理论,级数理论,留数理论,保形映
射和解析函数的理论,并了解调和函数的概念。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;
应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用基本概念、基本理论和基
本方法正确地推理证明。
二、教材
《复变函数(第五版)》,余家荣,高等教育出版社
三、考试内容
(一)复数及复平面
(1)理解复数的定义,熟练掌握复数的代数表达,四则运算及共轭的求法; 熟练掌握
复数与平面上点一一对应关系,复平面在几何中的应用,复平面与平面向量的关系;熟练掌
握复数的模,辐角,三角表达式的定义和求法;掌握复数的球面表示,复球面及无穷大。
(2) 理解内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等概念,曲线、区
域的概念,理解 Jordan 曲线定理。
(二)复变函数
(1)深入理解复变函数的定义,掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元
函数的极限连续性的等价性;理解并掌握解析函数的概念;熟练掌握 Cauchy—Riemann 条件,
能够用这个条件判定函数的解析性。
(2) 理解多值函数的概念、分支、分支点的概念,熟练掌握基本初等函数:指数函数,
辐角函数,对数函数,幂函数,三角函数的定义、性质。
(三)复变函数的积分
(1) 掌握积分的定义、性质,会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算;深
入理解和熟练掌握 Cauchy 定理,理解 Cauchy 定理的证明;掌握 Cauchy 定理的推广,会用
Cauchy 定理计算积分。
(2) 熟练掌握 Cauchy 公式,能熟练使用 Cauchy 公式计算积分;掌握解析函数的无穷
可微性,Cauchy 不等式,Liouville 定理,Morera 定理,会使用这些性质和理论解决一些
具体的问题。
(四)级数
(1)掌握复数项级数的定义及其收敛条件,函数项级数的一致收敛性定义与判定法,
内闭一致收敛的定义,判定法和性质;掌握幂级数的收敛的定义,判定法,和函数的性质。
(2) 掌握函数能展开成 Taylor 展式的理论依据和方法,能熟练地将解析函数展开成
幂级数;掌握解析函数幂级数展式的唯一性;深入理解并掌握零点的概念,掌握零点的孤立
性;掌握解析函数的唯一性定理。
(3) 理解和掌握解析函数的 Laurent 展式的概念;掌握解析函数的 Laurent 展式的唯
一性;能熟练地将解析函数展开成 Laurent 展式;理解和掌握解析函数三类孤立奇点的定义,
判定方法;掌握解析函数在无穷远点性质;理解整函数和亚纯函数的定义,掌握整函数和亚
纯函数的简单应用。
(五) 留数
(1)掌握留数定理,能熟练计算函数的留数。
(2) 熟练掌握利用留数求积分的方法;掌握亚纯函数在一定区域内零点与极点个数的
关系,理解 Rouche 定理,会用 Rouche 定理确定某些方程在一定区域内根的个数。
(六)保形映射
(1)深入理解和掌握单叶解析函数的概念;熟练掌握单叶解析函数各个性质,并能利
用这些性质解决一些具体问题;掌握保形映射的概念;掌握单叶解析函数的几何意义。
(2)理解和掌握分式线性函数的定义;熟练掌握分式线性函数的几条映射性质,理解
并熟练掌握两个特殊的分式线性函数。
(3)掌握最大模原理,Schwatz 引理;理解 Riemann 映射定理,边界对应原理;熟练
掌握将某些区域保形映射成所要求的区域的方法。
(七) 解析函数
(1) 理解和掌握对称原理及其推广的形式,会应用对称原理和推广的对称原理; 掌
握用幂级数进行解析开拓的方法;了解一般解析函数,Riemann 面的概念和实例;了解沿曲
线的解析开拓问题。
(2) 掌握多角形映射基本公式,会用多角形映射基本公式解决具体的问题。
(八)调和函数
(1)理解和掌握调和函数的概念; 掌握调和函数的中值定理和中值公式,Poisson 公
式,以及调和函数的极值原理。

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