2018年湖南大学813高等代数考研大纲

《高等代数》湖南大学硕士研究生入学考试大纲
（一）多项式理论
一元多项式的整除性、带余除法、最大公因式、互素多项式、不
可约多项式、多项式的因式分解、重因式等基本概念及其性质；多项
式函数；多项式的根（重根）与它的一次因式（重因式）间的关系；
多项式是否有重因式的判别法； 实、复系数多项式的不可约多项式
的形式及标准分解式的形式；有理系数多项式的不可约判定及求整系
数多项式的有理根等基本方法。
（二）行列式
n 级排列的逆序数、对换、奇偶性；n 阶行列式的定义、性质；
行列式的子式、代数余子式及展开定理；行列式的计算方法；克莱姆
法则；Vandermonde 行列式；
（三）线性方程组
n 维向量空间；n 维向量组的线性相关性；n 维向量组的秩、向
量组的等价，矩阵的秩等基本概念及性质；
Gauss 消元法；线性方程组有解的判定定理；线性方程组解的结
构（括齐次线性方程组的基础解系定义、求法）。
（四）矩阵
矩阵的运算及性质；矩阵的秩；矩阵的初等变换与初等矩阵；矩阵在
初等变换下的标准形；矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；
行列式乘积定理；；分块矩阵；分块矩阵运算；矩阵和转置、对角阵、
三角阵、矩阵单位；矩阵的迹、方阵的多项式；
（五）二次型
二次型的矩阵表示；二次型的标准形与合同变换；复数域与实数
域上二次型的标准形、规范形；惯性定理；实二次型、实对称矩阵正
定的充分必要条件；
（六）线性空间
线性空间的概念；一些重要的线性空间实例，基、维数与坐标；
基变换与坐标变换；
（七）线性变换
线性映射与线性变换的概念、运算；线性变换的矩阵表示；线性
变换（矩阵）的特征多项式、特征值与特征向量；线性变换的值域与
核；特征子空间;线性变换的不变子空间；线性变换的矩阵为对角矩
阵的充要条件，线性变换及矩阵的最小多项式；
（八）λ -矩阵
λ -矩阵在初等变换下的标准形、不变因子、行列式因子；矩阵相
似的条件；数字矩阵或线性变换的不变因子、初等因子、Jordan 标
准形 。
（九）欧氏空间
向量内积；欧氏空间的概念及性质，度量矩阵；向量的长度、夹
角、正交、距离，柯西一布涅科夫斯基不等式；标准正交基；欧氏空
间的子空间的正交补，欧氏空间的同构；欧氏空间的正交变换与对称
变换，对称变换与实对称矩阵用正交变换化实对称矩阵为对角阵的方
法。