2021年博士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目代码：2105   科目名称：泛函分析

一、考试要求

主要考查学生对距离空间及其完备性、赋范线性空间及其上的有界线性算子、非线性算子微分学以及拓扑度的基本理论和方法的理解和掌握程度，同时考察学生运用这些理论与方法解决相关数学问题的能力。

二、考试内容

1、线性泛函分析

距离空间及其完备性，赋范线性空间、Banach空间以及Hilbert空间及其上的有界线性算子，泛函分析的基本——Hahn-Banach延拓定理、共鸣定理、闭图像定理及逆算子定理

2、非线性泛函分析

    非线性算子的有界性与连续性，紧算子与全连续算子，Gateaux微分与Frechet微分，隐函数存在定理，非线性泛函的极值，Brouwer度与Leray-Schauder度的概念、基本性质及相应的不动点定理

三、考试形式

考试形式为闭卷、笔试，考试时间为3小时，满分100分。

题型包括：讨论题、计算题、证明题等。

四、参考书目

1. 《实变函数与泛函分析概要》（第四版），第二册，郑维行、王声望编，高等教育出版社，2019年，第五版。

2．《非线性泛函分析》（第三版），郭大钧著，高等教育出版社，2015年，第三版。