安徽师范大学拓扑学本科教学大纲
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安徽师范大学拓扑学本科教学大纲

《数学系(点集拓扑学)》教学大纲
学时:51 学时 学分:3
适用专业:数学与应用数学专业
大纲执笔人:李伯权 大纲审定人:孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支,它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)
下保持不变的性质,即拓扑性质。目前,拓扑学的概念、方法和理论已经
广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域,并且有了日益重要的应
用;又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识,因此
无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看,本课程的设置都是必要
的。点集拓扑学又称一般拓扑学,它是拓扑学的基础,它主要研究拓扑空
间的自身结构与其间的连续映射的学科。
本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论,通过本课程的学
习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的
内容,加深对这些内容的认识与理解,并为进一步学习现代数学提供必要
的基础。
2、课程教学的基本要求
(1)通过本课程的学习,学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应
用拓扑学解决实际问题的能力。以便为以后进一步学习、研究
现代数学打好基础;另一方面培养学生理论联系实际和分析问
题解决问题的能力。
(2)系统掌握点集拓扑的基本知识。其基本内容包括:拓扑空间和
连续映射的定义及其基本性质,构造新的拓扑空间的方法,各
种拓扑不变性质,如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备
性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联,这些拓扑不变性的
可积、可遗传等性质,基本群及其应用。掌握点集拓扑中的证
明方法。
(3) 本课程由于是数学专业大四毕业班的选修课程,课时较少,授
课时应灵活选择教学内容,合理安排。
3、课程教学改革
本课程注重培养学生高度的抽象思维能力、逻辑思维能力以及空
间想象能力。在讲授此课程时,要注重本课程与相关课程《数学分析》
等之间的联系。
二、大纲内容
第一章 拓扑空间与连续映射(15 课时)
[内容要点]
朴素集合论(集合、关系、映射), 度量空间的基本概念, 拓
扑空间与连续映射,领域、导集、闭集、闭包、内部,边界, 拓扑
的基和子基,拓扑空间中的序列。
[教学要求]
本章要求学生掌握集合的一些基本概念,特别是对集合的运算,
要比较熟练的掌握,要求学生掌握拓扑空间的定义、几中典型的拓扑
空间的例子,了解导集、闭集、闭包、基、子基等概念,掌握连续映
射的特征。
第二章 子空间, 有限积空间,商空间(6 课时)
[内容要点]
子空间, 有限积空间,商空间
[教学要求]
本章介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的方法。
要求掌握拓扑空间及其子空间的内在联系与区别,掌握有限积拓扑空
间及其空间的内在联系与区别,了解产生商空间的几何背景(莫比乌
斯带、环面及克莱因瓶等)。
第三章 连通性(6 学时)
[内容要点]
连通空间,连通性的某些简单应用,连通分支与局部连通空间
道路连通空间
[教学要求]
掌握拓扑空间的几种拓扑不变性质,包括连通性、局部连通性
和道路连通性,并理解它们的某些简单的应用(介值定理、不动点定
理、Boruk-Ulam 定理及其高维情形),能够用来区分一些互不同胚
的空间。掌握一些在连续映射下保持不变的性质、商性质、有限可积
性质。
第四章 有关可数性公理(3 学时)
[内容要点]
第一和第二可数性公理, 可分空间, Lindelof 空间
[教学要求]
本章要求学生掌握第一和第二可数性的概念及其拓扑不变性,会
判断具体空间的可数性,了解可分空间及林德勒夫空间。
第五章 分离性公理(6 学时)
[内容要点]
10
, TT ,Hausdorff 空间 正则、正规, 3 4
,T T 空间 完全正规空间,
Tychonoff 空间
[教学要求]
本章要求学生掌握 4210
,,, TTTT 正则、正规空间的概念和他们之间
的区别和联系。特别注意其中一些反例的选取,了解 Urysohn 引理和
Tietze 扩张定理的内容
第六章 紧致性(9 学时)
[内容要点]
紧致空间.紧致性与分离性公理.欧式空间中的紧致子集.几种紧
致性的关系.度量空间中的紧致性.局部紧致空间,仿紧致空间
[教学要求]
掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法(这些
方法哪些是充要条件).掌握紧致性是否是连续映射可保留的,
是否是可遗传的、有限可积的.掌握紧致空间中各分离性公理
的关系.掌握 Hausdorff 空间中紧致子集的性质. 掌握新定义
的几种紧致性的定义及它们之间的关系.掌握度量空间中的紧
致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系.度
量空间(特别是 )中的紧致性性质要掌握.掌握局部紧致空
间、仿紧致空间的定义及性质。掌握局部紧致空间、仿紧致空
间中各分离性公理空间之间的关系。掌握局部紧致空间、仿紧
致空间与紧致空间之间的关系.
第七章 基本群及其应用(6 学时)
[内容要点]
道路类及其乘法。基本群及其性质。基本群的计算:圆周的基本群。
2 维的 Bronwer 不动点定理。Jordan 分割定理。
[教学要求]
理解定端同伦与道路类的概念;理解道路类乘法的定义与性质;理解
与掌握基本群的定义与性质;理解与掌握由连续映射所诱导的基本群
之间的同态的定义与性质。掌握计算(圆周的)基本群的方法。能用
圆周的基本群来解决一些实际问题,如证明代数基本定理与 2 维的
Bronwer 不动点定理。

1 本课程考核方式、方法: 闭卷笔试
2 教学参考书目:
熊金城 《点集拓扑讲义》高等教育出版社 第三版 2004
尤承业 《基础拓扑学》 北京大学出版社 2004

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