安徽师范大学《高等代数》大纲本科教学大纲

数学与应用数学专业（师范类）
高等代数教学大纲
学时：153 学分：9
理论学时：153 实验或讨论学时：20
适用专业：数学与数学应用
大纲执笔人：储茂权 大纲审定人：殷晓斌
高等代数是数学专业的一门重要基础课程，是中学代数的继续和提高。
通过这一门课程的教学，使学生初步地掌握基本的、系统的代数知识和抽象
的、严格的代数方法，以加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础。
这门课程大致分为两部分：多项式论和线性代数。前者以数域上一元多
项式的因式分解理论为中心内容；后者主要讲授线性方程组的理论、向量空
间和线性变换。在讲授某些内容时，应注意与其它课程的联系。
为了体现少而精的原则，本课程着重于基础知识、基本理论的讲授和基
本技能的培养，不追求内容上的完备和全面。
本课程的学时数学时数 153 课时，其中讲授 120 课时，习题课 33 课时，
教师在使用大纲时，对于讲授次序和学时安排，可以根据实际情况，灵活掌
握。
大纲括号内的学时数为讲授时数的大致估计：
一、预备知识（4 学时）
１ 集合（子集、集合的交和并）
２ 映射（定义、满射、单射、双射、合成映射、逆映射）
３ 数学归纳法
４ 数域
二、多项式（30 学时）
１ 多项式的定义和运算
２ 多项式的带余除法
３ 带余除法和整除
４ 辗转相除法和最大公因式
５ 多项式的因式分解及其唯一性
６ 导数与重因式
７ 多项式的根
８ 多项式函数
９ 多项式的根与系数的关系 多元多项式 对称多项式
１０ 复数域和实数域上的多项式、代数基本定理（不证）
１１ 有理数域上的多项式
１２ 整系数多项式的有理根
三、列式（１5 学时）
１ 排列
２ n 阶行列式的定义
３ n 阶行列式的基本性质
４ 行列式按行或按列展开
５ 行列式的计算
６ 克兰姆（Cramer）规则
7 拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法规则
四、线性方程组（１６学时）
１ 线性方程组的消元法
２ n 维向量空间
３ 线性相关性
４ 矩阵的秩
５ 线性方程组有解的判定
６ 线性方程组解的结构
五、矩阵（１５学时）
１ 矩阵的概念及运算
２ 矩阵乘积的行列式及秩
３ 矩阵的逆
４ 矩阵的分块及其应用
５ 初等矩阵
六、二次型（８学时）
１ 二次型的定义及其矩阵表示
２ 标准型
３ 唯一性
４ 正定二次型及其判定
七、线性空间（１８学时）
１ 线性空间的定义与基本性质
２ 维数、基与坐标
３ 线性子空间
４ 子空间的交与和
５ 子空间的直和
６ 线性空间的同构
八、线性变换（２２学时）
１ 线性变换的概念
２ 线性变换的运算
３ 线性变换的矩阵
４ 矩阵的相似
５ 特征值与特征向量
６ 可对角化的矩阵
７ 线性变换的值域与核、不变子空间
８ 若当（Jordan）标准形简介
９ 最小多项式
九、λ-矩阵（１０学时）
１ λ -矩阵定义及其逆
２ λ -矩阵在初等变换下的标准形
３ 不变因子、初等因子
４ 矩阵相似的条件
５ 若当（Jordan）标准形的理论推导
十、欧几里得空间（１０学时）
１ 定义与基本性质
２ 标准正交基、正交变换
３ 同构
４ 子空间
５ 对称矩阵的标准形
６ 向量到子空间的距离、最小二乘法
教学参考书目：
张禾瑞 郝炳新 高等代数 高等教育出版社 1983 年 9 月出版
第三版