实变函数
1 预备知识
1.1 记号与基本点集理论
1.1.1.1 点集与函数
1.1.1.2 集合的有关记号：并、交、差、余
1.1.1.3 de Morgan律
1.1.1.4 集合的乘积
1.1.1.5 函数定义
1.1.1.6 函数的复合与四则运算
1.1.1.7 特征函数
1.1.1.8 等价关系
1.1.2 直线上可数集与不可数集
1.2.1.1 有限集
1.2.1.2 △可数集
1.2.1.3 △不可数集
1.2.1.4 有理数集合的可数性
1.1.3 IR中的拓扑性质
1.1.3.1 开集
1.1.3.2 △开集构成定理
1.1.3.3 闭集
1.1.3.4 连续函数
1.2 Rirmann积分的局限性
1.2.1 Riemann可积性简介
2 测度
2.1 零测集
2.1.1 定义
2.1.2 零测集的可数并为零测集
2.1.3 Cantor集
2.2 外测度
2.2.1 定义
2.2.2 零测集的外测度为0
2.2.3 空集的 外测度
2.2.4 若，则
2.2.5 区间的外测度
2.2.6 次可数可加性
2.2.7 平移不变性
2.3 Lebesgue可测集与Lebesgue测度
2.3.1 测试与可测集定义
2.3.2 零测集与区间可测
2.3.3 可测集的性质
2.3.4 域
2.4 Lebesgue测度的性质
2.4.1 单调性
2.4.2 开集的测试
2.4.3 渐张(缩)集列极限集的测度
2.4.4 有限可加性
2.5 Borel集
2.5.1 域的性质
2.5.2 Borel集的定义
2.5.3 Borel集类与Lebesgue可测集类的关系
3 可测函数
3.1 扩充实直线
3.1.1
3.2 定义
3.2.1 几乎处处
3.2.2 函数几乎处处相等的概念
3.2.3 可测函数定义
3.4 性质
3.4.1 可测函数的四则运算及复合
3.4.2 f+、f-、|f|及上下限函数的可测性
3.4.3 鲁津定理
4 积分
4.1 积分定义
4.1.1 简单函数的积分
4.1.2 非负可测函数的积分
4.1.3 非负函数积分的性质，单调性，可加性，线性
4.1.4 积分为0的条件
4.2 单调收敛定义
4.2.1 Fatou引理
4.2.2 Levi引理
4.3 可积函数
4.3.1 定义
4.3.2 积分的性质
4.3.3 L构成——线性空间
4.3.4 绝对不等式
4.3.5 由积分 定义测试
4.4 控制收敛这理
4.4.1 控收敛定理
4.4.2 Beppo-Levi定理
4.5 与Riemann积分的关系
4.5.1 Riemann可积的充要条件
4.5.2 广义Riemann积分
4.6 可测函数的逼近
4.6.1 简单函数的逼近
4.6.2 连续函数逼近(Thearem4.15)
4.6.3 Riemann-Lebsegue引理
5 可积函数空间
5.1 空间L1
5.1.1 度量及范数的定义
5.1.2 L1(E)为Banach空间
5.2 Hilbert空间L2
5.2.1 L2-范数的性质
5.2.1.1 Schwarz子不等式
5.2.1.2 L2(D) L1(D) (m(D)<∞)
5.2.2 内积空间
5.2.2.1 内积空间定义
5.2.2.2 L2为Hilbert空间
5.2.3 正义性
5.2.3.1 Hilbert空间的正交基
5.2.3.2 向量夹角
5.3 LP空间
5.3.1 LP-范数
5.3.2 Holder不等式
5.3.3 Minkowski不等式
5.3.4 L∞空间
5.3.5 完备性
6 乘积测度
6.1 多维Lebesgue测度
6.1.1 定义
6.2 -域的乘积
6.3 乘积测试的构造
6.4 Fubini定理
参考书目：
1． 江泽坚吴智泉《实变函数论》， 高等教育出版社。
2． 郑维行王声望 《实变函数与泛函分析概要》（上），高等教育出版社。
您现在的位置： 